简单的生成函数练习题
题目描述
试证明
[large{sum_{i=1}^kS_2(k,i)*i!*(x-1)^{i-1}}\
large{=sum_{i=1}^k(-1)^{k-i}S_2(k,i)*i!*x^{i-1}}
]
解题思路
Orz EI && zbk
先扔几个公式
[sum_{i=0}S_2(i, n)*frac {x^i}{i!}=frac {(e^x-1)^n}{n!}\
sum_{i=0}(-1)^{n-i}S_2(i,n)*frac {x^i}{i!}=frac {(1-e^{-x})^n}{n!}\
sum_{i=0}q^ix^i = frac {1}{1-qx}
]
下面让我们愉快的推导吧
[sum_{i=1}^kS_2(k,i)*i!*(x-1)^{i-1}\
=left[frac {x^k}{k!}
ight]frac {e^x-1}{1-(x-1)(e^x-1)}\
=left[frac {x^k}{k!}
ight]frac {1 - e^{-x}}{e^{-x}-(x-1)(1-e^{-x})}\
=left[frac {x^k}{k!}
ight]frac {1-e^{-x}}{1-x(1-e^{-x})}\
=sum_{i=1}^k(-1)^{k-i}S_2(k,i)*i!*x^{i-1}
]
这是 EI 大佬的神仙证明
下面的话是对像我这样生成函数初学者说的，大佬请自行跳过
蛤？你第一步就没看懂？！（反正我没看懂/kk）
这里来个解释详细一些的
先考虑
[sum_{i=1}S_2(k,i)*i!
]
生成函数如何表示
根据第一个公式，有
[S_2(k,i) *frac 1{k!}= left[x^k
ight]frac {(e^x-1)^i}{i!}\
frac 1{k!}S_2(k,i) * i!= left[x^k
ight] {(e^x-1)^i}\
sum_{i=0}S_2(k,i)*i!=k!*sum_{i=0}left[x^k
ight] {(e^x-1)^i}\
]
再应用第二个公式，有
[sum_{i=1}S_2(k,i)*i!*(x-1)^{i-1}\
=k!sum_{i=1}left[x^k
ight] {(e^x-1)^i*(x-1)^{i-1}}\
=k!(e^x-1)sum_{i=0}left[x^k
ight] {(e^x-1)^i*(x-1)^{i}}\
frac{k!(e^x-1)}{1-(x-1)(e^x-1)}\
]
最后一步同理可证
话说 EI 神仙怎么那么熟练啊QAQ