高中数学竞赛培优教程 · 一试阅读笔记
闲的没事学点数学，叫阅读笔记主要是因为看了很多答案（
§ 0.1 实数基本知识
例 5
求证：( an 3degree) 为无理数。
证明：
有理数运算具有封闭性。由二倍角公式得 ( an 6 degree = frac{2 an 3 degree}{1- an ^2 3 degree })，是有理数。同理 ( an 12 degree, an 24 degree) 也是有理数。和差角公式得 ( an(24 + 6)degree = an 30 degree) 也是有理数，但 ( an 30 degree = frac {sqrt3}3)，矛盾。
赛题演练-9
设 (a, b, c) 为正有理数，且 (a + frac 1{bc},b + frac{1}{ac}, c + frac{1}{ab}) 都是正整数，求 (a + b + c) 的值。
解：
简单整理得 (a(1 + frac 1{abc}) in )，设 (a = frac {a_1}{a_2}(a_1,a_2 in ,gcd(a_1,a_2)=1))，有 (a_1(1 + frac1{abc}) in )。同理有 (b_1(1+frac 1{abc}) in )，(c_1(1+frac 1{abc}) in )。
设 (m = gcd(a_1,b_1,c_1))，由裴蜀定理得 (m(1+frac 1{abc}) in )。若有 (m ge 2)，应满足 (frac{ma_2b_2c_2}{a_1b_1c_1} in )，因为 (m^3 mid a_1b_1c_1)，且 (m mid a_2b_2c_2)，矛盾。所以有 (m = 1)。
所以 (frac 1{abc} in )，不妨设 (frac 1{abc} = n)，有 (a(1 + frac 1{abc}) imes b(1 + frac 1{abc}) imes c(1 + frac 1{abc}) in )，整理得 (frac{(n + 1)^3}{n} in )，由于 ((n,n + 1) = 1)，所以有 (n = 1)，带入得 ((2a) imes(2b) imes(2c)=8)。由于 (2a,2b,2c) 都是整数，所以简单讨论记得得到 (a + b + c = 3,frac 72, 5)
§ 0.2 方程（组）
例 2
已知 (alpha,eta in R)，直线 (large frac x{sin alpha+sineta}+frac{x}{sin alpha+cos eta}=1) 和直线 (large frac x{cos alpha+sineta}+frac{x}{cos alpha+cos eta}=1) 的交点在直线 (y = -x) 上，求 (sin alpha+cos alpha+ sin eta + cos eta) 的值。
解：
设两直线交点为 ((x_0, -x_0))，且 (sin alpha,cos alpha) 为方程 (frac{x_0}{t+sin eta}+frac{-x_0}{t+cos eta}=1) 的两个根。由韦达定理得 (sin alpha + cos alpha = -cos eta-sin eta)。
例 3
解方程 (2x^4+3x^2-16x^2+3x+2=0)。
解：
注意到系数对称，并且 (x eq 0)，两边同除 (x^2) 得 (2(x^2+frac 1{x^2})+3(x+frac 1x)-16=0)。设 (y = x + frac 1x)，(x^2+frac 1{x^2}+2=y^2)，可以先解 (y)，然后求解 (x)。