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  • 常见的概率分布类型(二)(Probability Distribution II)

    以下是几种常见的离散型概率分布和连续型概率分布类型:

    伯努利分布(Bernoulli Distribution):常称为0-1分布,即它的随机变量只取值0或者1。

    伯努利试验是单次随机试验,只有"成功"(1)或"失败"(0)这两种结果。假如某次伯努利实验成功的概率为p,失败的概率为q=1-p,那么实验成功或失败的概率可以写成:

    伯努利分布的期望:

    伯努利分布的方差:

    二项分布(Binomial Distribution):用以描述n次独立的伯努利实验中有x次成功的概率。

    假如每次伯努利实验成功的概率为p,失败的概率为q=1-p,那么n次独立的伯努利实验中有x次成功的概率是:P(x)=C_n^xp^x(1-p)^{n-x}= frac{n!}{x!(n-x)!}p^x(1-p)^{n-x}。这就是二项分布的概率质量函数。

    二项分布的期望:E(x)=μ=np

    二项分布的方差:Var(x)=σ2=npq

    最常见的二项分布问题就是多次投硬币:投掷10次均匀的硬币,其中恰好有5次正面朝上的概率是多少?

                                                                     投掷10次均匀的硬币,其中至少有8次正面朝上的概率是多少?

    当n>50,p<0.1时,二项分布可以转换成泊松分布。

    当np>5以及nq>5时,二项分布可以转换成正态分布。但是由于正态分布是连续变量,所以需要加一个continuity correction,例如:P(x<=a)--->P(x<a+0.5)。

    几何分布(Geometric Distribution):用以描述n次独立的伯努利试验中试验x次才第一次成功的概率。

    假如每次伯努利实验成功的概率为p,失败的概率为q=1-p,那么n次独立的伯努利实验中试验x次才第一次成功的概率是:

    几何分布的期望:E(x)=1/p

    几何分布的方差:Var(x)=q/p2

    超几何分布(Hypergeometric Distribution):用以描述从有限个(N个)物件中抽出n个物件(不放回),其中抽出k个指定种类物件的概率。

    假如有N个物品,其中K个是某个特定种类,从这N个物品中抽出n个,其中k个是K种物品的概率是:

     

    超几何分布的期望:

    超几何分布的方差:

    最常见的超几何分布问题就是抽取卡牌:一副卡片共有20张,其中6张是红色的,14张是黑色的。从这20张卡片中随机抽取5张,其中4张是红色卡片的概率是多少?

    时,

    时,超几何分布的期望和二项分布的方差相同:
    时,超几何分布的方差和二项分布的方差相同:
    时,超几何分布近似为二项分布。
    当n=1时,超几何分布还原为伯努利分布。

    多项分布(Multinomial Distribution):用以描述n次独立试验中有nx次出现结果x的概率。

    伯努利实验每次都只有2个可能的结果,若将其扩展为x个可能的结果,将该独立试验重复n次,那么出现n1次p1,n2次p2,...,nx次px结果的概率是:

    其中:

    • n是试验的次数
    • n1是出现结果1的次数
    • n2是出现结果2的次数
    • nx是出现结果x的次数
    • p1是结果1出现的概率
    • p2是结果2出现的概率
    • px是结果x出现的概率
    • pi>0,p1+p2+...+px=1

    最常见的多项分布问题就是多次投骰子:投掷10次均匀的骰子,1次结果是6点,4次结果是4点,5次结果是2点的概率是多少?

    多项分布和二项分布的区别在于:二项分布试验每次只有2个结果,而多项分布试验每次可以有多个结果。

    均匀分布(Uniform Distribution):随机变量在等长度的区间上取值的概率是相同的。

    例如:投掷一颗均匀的骰子,每一面出现的概率都相同。

    概率密度函数:axb)

    均匀分布的期望:E(X) = (1/2)(a + b)

    均匀分布的方差:Var(x) = (1/12)(b-a)2

    泊松分布(Poisson Distribution):用以描述在某个时间或空间范围内,某事件发生x次的概率。

    其概率质量函数为:。(其中x是在某个时间或空间范围内事件发生的次数,λ是事件发生的平均次数)

    泊松分布的期望:λ

    泊松分布的方差:λ

    最常见的泊松分布问题就是计算单位时间内经过某地的车辆数,或者单位时间内经过某地n辆车的概率。以公交车为例,假设我们知道它过去每个小时平均会5次经过其中一个站点(λ=5),那么它接下来一个小时经过该站点1次,4次,5次,10次的概率分别是多少?

    • 当x=1时:P(1)=e551/1!0.034

    • 当x=4时:P(4)=e554/4!0.175

    • 当x=5时:P(5)=e555/5!0.175

    • 当x=10时:P(10)=e5510/10!0.018

    当λ>5时,泊松分布可以转换成正态分布。但是由于正态分布是连续变量,所以需要加一个continuity correction。

    指数分布(Exponential Distribution):用以描述泊松过程中随机事件发生的时间间隔的概率。泊松过程即事件以恒定的平均速率连续且独立地发生的过程。

    例如:等公交车,两辆车到来的时间间隔,就符合指数分布。

    其概率密度函数是:F(x) = λe − λxx0λ>0)(λ是单位时间事件发生的次数,x是事件发生的时间间隔)

    其累积分布函数是:F(x) = 1 − e − λx(x ≥ 0; λ > 0) --- 表示在某个时间间隔内事件发生的概率(如果要表示在某个时间间隔内事件未发生的概率,则用1-F(x)=e − λx

    exponential distribution.

    指数分布的期望:1/λ

    指数分布的方差:1/λ2

    指数分布主要用于测试产品可靠性。例如:某电视机厂生产的电视机平均10年出现1次大故障,且故障发生的次数服从泊松分布。求该电视机使用15年后还没有出现大故障的概率?

    指数分布是无记忆性的。你等待的时间越长,事件发生的概率并不会发生改变。例如:某地发生了一次水灾,那么该地区在接下来一周,或十年以后发生水灾的概率是一样的。

    总结如下:

      几何分布  二项分布  指数分布 超几何分布 泊松分布
     概率分布类型

    离散型概率分布

    离散型概率分布

    连续型概率分布 离散型概率分布 离散型概率分布 
    实验要求
    • 每次实验是独立的。
    •  每次实验只有成功和失败两种结果。
    • 每次实验成功的概率是一样的。
    • 实验次数是有限的。
    • 每次实验是独立的。
    •  每次实验只有成功和失败两种结果。
    • 每次实验成功的概率是一样的。 
    • 在任意两个相等长度的区间上,事件发生的概率相等。
    • 事件在某一区间上是否发生是独立的,与事件在其他区间上是否发生无关。
    • 实验次数是有限的。
    • 每次实验不独立。
    • 每次实验只有成功和失败两种结果。
    • 每次实验成功的概率都不同。
    • 在任意两个相等长度的区间上,事件发生的概率相等。
    • 事件在某一区间上是否发生是独立的,与事件在其他区间上是否发生无关。
    随机变量  获得第一次成功的试验次数  试验成功的次数  事件发生的时间间隔   抽取指定种类物件的个数 在某个时间或空间范围内,某事件发生的次数

    概率密度函数 或

    概率质量函数 

      P(x)=C_n^xp^x(1-p)^{n-x}= frac{n!}{x!(n-x)!}p^x(1-p)^{n-x}  F(x) = λe − λxx0λ>0)   
    应用 进行n次独立的伯努利试验,求试验x次才第一次成功的概率 进行n次独立的伯努利实验,求x次成功的概率  已知单位时间内事件发生次数,求一段时间间隔内发生该事件的概率 从有限个(N个)物件中抽出n个物件(不放回),求其中抽出k个指定种类物件的概率  已知单位时间或空间内某事件发生的平均概率,求一段时间内发生x次该事件的概率或求一段时间内发生该事件的次数
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