剑指35.数组中的逆序对

题目描述

在数组中的两个数字，如果前面一个数字大于后面的数字，则这两个数字组成一个逆序对。输入一个数组,求出这个数组中的逆序对的总数P。并将P对1000000007取模的结果输出。 即输出P%1000000007

 

思路

          如果数组中的元素是有序的（单调递增的），则不会有逆序对了。其他情况比如无序或者单调递减是含有逆序对的。因此，我们把无序变有序的过程中，所有需要交换的次数记录下来，就是逆序对的总数。因此，该题可视为排序问题。更具体的，本题是归并排序最典型的一个应用。

归并操作就是将两个排序过的序列合并成一个序列的操作。本题的难点在于如何把统计逆序对个数 融合 在归并排序的合并过程中。

☆☆☆解法

public class Solution {
    // int 4字节 -2^31 ~ 2^31 - 1
    // long 8字节 -2^63 ~ 2^63 - 1
    // 要用long，因为对于牛客测试用例100%的数据时，如果数组是单调递减的，逆序对的个数要超过int所能表达数的范围
    private long sum = 0;  // 用于统计逆序对的个数
    public int InversePairs(int [] array) {
        if (array == null || array.length == 0)
            return 0;
        mergeSort(array,0,array.length - 1);
        return (int) (sum % 1000000007);
    }
    /*
     * 归并排序（时间复杂度O(nlogn)）算法步骤：
     * 1) 把长度为n的输入序列分成两个长度为n/2的子序列；
     * 2) 对这两个子序列分别采用归并排序；
     * 3) 将两个排序好的子序列合并成一个最终的排序序列。
     */
    public void mergeSort(int[] arr, int low, int high){
        if (low < high){
            int middle = low + ((high - low) >> 1);
            // 处理左边
            mergeSort(arr,low,middle);
            // 处理右边
            mergeSort(arr,middle + 1,high);
            //归并
            merge(arr,low,middle,high);
        }
    }
    public void merge(int[] arr, int low, int middle, int high){
        // 用于存储归并后的临时数组
        int[] temp = new int[high - low + 1];
        int i = low;  // 左区间的起点
        int j = middle + 1; // 右区间的起点
        int index = 0;
        while (i <= middle && j <= high){
            //如果前面的元素大于后面的，那么在前面元素之后的元素都能和后面的元素构成逆序对
            if (arr[i] > arr[j]){
                temp[index++] = arr[j++];
                sum += middle - i + 1; // 核心步骤—在merge过程中统计逆序对数，统计的基础是在归排的合并过程中，合并的两个子序列都是有序的
            }else{   //如果前面的元素小于后面的不能构成逆序对
                temp[index++] = arr[i++];
            }
        }
        // 处理多余数据
        while (i <= middle) temp[index++] = arr[i++];
        while (j <= high) temp[index++] = arr[j++];
        // 把临时数组中的数据重新存入原数组
        for (int k = 0; k < temp.length; k++) {
            arr[low + k] = temp[k];
        }
    }
}