初探算法维度问题

先看一道基础题 HRBUST 2224 

给定 n 个数组成的数组，求其逆序对的总数。

逆序对定义为，存在 (i, j) 满足 i < j 且 A[i] > A[j] 的二元组的数目。

接下来的一行，包含 n 个数（2 <= n <= 100000），依次表示 A[i](A[i] <= 10^9)。

简单的逆序对问题，很显然可以用树状数组或者归并排序解决，但是考虑到A的范围，常规的树状数组会采用离散化，tree存储前面比她小的数来解决。

这当然是没有问题的，但是这个题事实上是两个维度(pos,t),pos是一个显而易见的，t其实也是一个维度，也就是出现的顺序，逆序对事实上是要满足(pos1 < pos2 && t1 > t2)的对数，将问题转化为这样的二维来看，pos和t的地位就等同了，我们既然可以用树状数组求pos的前缀来计算逆序数对，当然也可以用t的前缀来计算逆序数对，在常规做法中，t从前向后遍历的时候是保证有序的，所以直接操作即可，当我们用树状数组来维护t的时候，我们就要事先对pos进行排序，此时所有比t小的数都是正常的，我们只要用t减去这些正常的就是这个数的逆序数对。

#include <map>
#include <set>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <vector>
#include <string>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <sstream>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <functional>
using namespace std;
const int MAXBUF=10000;char buf[MAXBUF],*ps=buf,*pe=buf+1;
inline bool isdigit(const char& n) {return (n>='0'&&n<='9');}
inline void rnext(){if(++ps==pe)pe=(ps=buf)+fread(buf,sizeof(char),sizeof(buf)/sizeof(char),stdin);}
template <class T> inline bool in(T &ans){
#ifdef VSCode
ans=0;T f=1;register char c;
do{c=getchar();if ('-'==c)f=-1;}while(!isdigit(c)&&c!=EOF);
if(c==EOF)return false;do{ans=(ans<<1)+(ans<<3)+c-48;
c=getchar();}while(isdigit(c)&&c!=EOF);ans*=f;return true;
#endif
#ifndef VSCode 
ans =0;T f=1;if(ps==pe)return false;do{rnext();if('-'==*ps)f=-1;} 
while(!isdigit(*ps)&&ps!=pe);if(ps==pe)return false;do{ans=(ans<<1)+(ans<<3)+*ps-48;
rnext();}while(isdigit(*ps)&&ps!=pe);ans*=f;return true;
#endif
}const int MAXOUT=10000;   //*(int(*)[10])p
char bufout[MAXOUT], outtmp[50],*pout = bufout, *pend = bufout+MAXOUT;
inline void write(){fwrite(bufout,sizeof(char),pout-bufout,stdout);pout = bufout;}
inline void out_char(char c){*(pout++)=c;if(pout==pend)write();}
inline void out_str(char *s){while(*s){*(pout++)=*(s++);if(pout==pend)write();}}
template <class T>inline void out_int(T x) {if(!x){out_char('0');return;}
if(x<0)x=-x,out_char('-');int len=0;while(x){outtmp[len++]=x%10+48;x/=10;}outtmp[len]=0;
for(int i=0,j=len-1;i<j;i++,j--) swap(outtmp[i],outtmp[j]);out_str(outtmp);}
template<typename T, typename... T2>
inline int in(T& value, T2&... value2) { in(value); return in(value2...); }
#define For(i, x, y) for(int i=x;i<=y;i++)  
#define _For(i, x, y) for(int i=x;i>=y;i--)
#define Mem(f, x) memset(f,x,sizeof(f))  
#define Sca(x) scanf("%d", &x)
#define Scl(x) scanf("%lld",&x);  
#define Pri(x) printf("%d
", x)
#define Prl(x) printf("%lld
",x);  
#define CLR(u) for(int i=0;i<=N;i++)u[i].clear();
#define LL long long
#define ULL unsigned long long  
#define mp make_pair
#define PII pair<int,int>
#define PIL pair<int,long long>
#define PLL pair<long long,long long>
#define pb push_back
#define fi first
#define se second 
#define Vec Point
typedef vector<int> VI;
const double eps = 1e-9;
const int maxn = 1e6 + 10;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int mod = 1e9 + 7; 
int N,M,tmp,K; 
PLL a[maxn];
LL tree[maxn];
int lowbit(int t){
    return t & -t;
}
void add(int x){
    while(x <= N){
        tree[x]++;
        x += lowbit(x);
    }
}
LL query(int x){
    LL s = 0;
    while(x > 0){
        s += tree[x];
        x -= lowbit(x);
    }
    return s;
}
int main()
{
    in(N);
    For(i,1,N) in(a[i].fi) ,a[i].se = i;
    sort(a + 1,a + 1 + N);
    LL ans = 0;
    For(i,1,N){
        ans += a[i].se - 1 - query(a[i].se);
        add(a[i].se);
    }
    Prl(ans);
    #ifdef VSCode
    write();
    system("pause");
    #endif
    return 0;
}

 上述的问题是一个二维问题，下面来看一个三维的问题 POJ1195

对一个平面进行m次操作

1 . 在(x,y)上增加或减少值x

2.查询(x1,y1) 与 (x2,y2)形成的矩形之间的和

显然，这又是一道二维树状数组的模板题，但是当x，y的范围给到1e9时，我们就需要进行离散化，当m的范围给到1e5时，我们就会发现离散化也不好使了，4e10的数组范围肯定是开不下的，这时候就要考虑另辟蹊径解决这道问题。

由上面的问题可以联想到，这依然是一个三维度的问题，(x，y，t)是问题的三个维度。当我们只有两个维度的时候，我们可以用树状数组来降一个维度，用排序默认一个维度，当三个维度时依然是用前缀和的思想来处理时，可以加上用cdq分治来维护第三个出现的维度。当我们用二位树状数组的时候，我们每次查询需要查询四个值来确认答案，当我们离线使用分治的时候，我们需要将四个值加入询问，离线排序之后来确定询问。

#include <map>
#include <set>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <vector>
#include <string>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <sstream>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <functional>
using namespace std;
const int MAXBUF=10000;char buf[MAXBUF],*ps=buf,*pe=buf+1;
inline bool isdigit(const char& n) {return (n>='0'&&n<='9');}
inline void rnext(){if(++ps==pe)pe=(ps=buf)+fread(buf,sizeof(char),sizeof(buf)/sizeof(char),stdin);}
template <class T> inline bool in(T &ans){
#ifdef VSCode
ans=0;T f=1;register char c;
do{c=getchar();if ('-'==c)f=-1;}while(!isdigit(c)&&c!=EOF);
if(c==EOF)return false;do{ans=(ans<<1)+(ans<<3)+c-48;
c=getchar();}while(isdigit(c)&&c!=EOF);ans*=f;return true;
#endif
#ifndef VSCode 
ans =0;T f=1;if(ps==pe)return false;do{rnext();if('-'==*ps)f=-1;} 
while(!isdigit(*ps)&&ps!=pe);if(ps==pe)return false;do{ans=(ans<<1)+(ans<<3)+*ps-48;
rnext();}while(isdigit(*ps)&&ps!=pe);ans*=f;return true;
#endif
}const int MAXOUT=10000;   //*(int(*)[10])p
char bufout[MAXOUT], outtmp[50],*pout = bufout, *pend = bufout+MAXOUT;
inline void write(){fwrite(bufout,sizeof(char),pout-bufout,stdout);pout = bufout;}
inline void out_char(char c){*(pout++)=c;if(pout==pend)write();}
inline void out_str(char *s){while(*s){*(pout++)=*(s++);if(pout==pend)write();}}
template <class T>inline void out_int(T x) {if(!x){out_char('0');return;}
if(x<0)x=-x,out_char('-');int len=0;while(x){outtmp[len++]=x%10+48;x/=10;}outtmp[len]=0;
for(int i=0,j=len-1;i<j;i++,j--) swap(outtmp[i],outtmp[j]);out_str(outtmp);}
#define For(i, x, y) for(int i=x;i<=y;i++)  
#define _For(i, x, y) for(int i=x;i>=y;i--)
#define Mem(f, x) memset(f,x,sizeof(f))  
#define Sca(x) scanf("%d", &x)
#define Scl(x) scanf("%lld",&x);  
#define Pri(x) printf("%d
", x)
#define Prl(x) printf("%lld
",x);  
#define CLR(u) for(int i=0;i<=N;i++)u[i].clear();
#define LL long long
#define ULL unsigned long long  
#define mp make_pair
#define PII pair<int,int>
#define PIL pair<int,long long>
#define PLL pair<long long,long long>
#define pb push_back
#define fi first
#define se second 
#define Vec Point
typedef vector<int> VI;
const double eps = 1e-9;
const int maxn = 100110;
const int maxq = 302000;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int mod = 1e9 + 7; 
int N,M,tmp,K,op; 
int tree[maxn];
struct QUERY{
    int x,y,t,op,w,id;
}query[maxq];
inline int lowbit(int t) {return t & -t;}
void add(int x,int val){
    for(;x <= N;x += lowbit(x)){
        tree[x] += val;
    }
}
int Query(int x){
    int s = 0;
    for(;x > 0; x -= lowbit(x)){
        s += tree[x];
    }
    return s;
}
bool cmp(QUERY a,QUERY b){
    if(a.x != b.x) return a.x < b.x;
    if(a.y != b.y) return a.y < b.y;
    return a.op < b.op;
}
int ans[maxq];
QUERY temp[maxq];
VI Q;
void cdq(int l,int r){
    if(l == r) return;
    int m = (l + r) >> 1;
    int l1 = l,l2 = m + 1;
    For(i,l,r){
        if(query[i].t <= m && query[i].op == 1) add(query[i].y,query[i].w);
        if(query[i].t > m && query[i].op == 2) ans[query[i].id] += query[i].w * Query(query[i].y);
   //     cout << query[i].id << "  " << ans[query[i].id] << endl;
    }
    For(i,l,r){
        if(query[i].t <= m && query[i].op == 1){
            add(query[i].y,-query[i].w);
        }
    }
    For(i,l,r){
        if(query[i].t <= m){
            temp[l1++] = query[i];
        }else{
            temp[l2++] = query[i];
        }
    }
    For(i,l,r){
        query[i] = temp[i];
    }
    cdq(l,m); cdq(m + 1,r);
}
int main()
{
    in(tmp); in(N);
    int cnt = 0;
    int op;
    while(in(op)){
        if(op == 1){
            cnt++;
            in(query[cnt].x),in(query[cnt].y),in(query[cnt].w);
            query[cnt].t = cnt; query[cnt].op = 1;
            query[cnt].x++; query[cnt].y++;
        }else if(op == 2){
            int x1,y1,x2,y2; in(x1);in(y1);in(x2);in(y2); x1++,x2++,y1++,y2++;
            int K = ++ans[0];
            query[++cnt].x = x1 - 1; query[cnt].y = y1 - 1; query[cnt].t = cnt; query[cnt].op = 2,query[cnt].id = K;query[cnt].w = 1;
            query[++cnt].x = x2; query[cnt].y = y2; query[cnt].t = cnt; query[cnt].op = 2,query[cnt].id = K;query[cnt].w = 1;
            query[++cnt].x = x2; query[cnt].y = y1 - 1; query[cnt].t = cnt; query[cnt].op = 2,query[cnt].id = K;query[cnt].w = -1;
            query[++cnt].x = x1 - 1; query[cnt].y = y2; query[cnt].t = cnt; query[cnt].op = 2,query[cnt].id = K;query[cnt].w = -1;
        }else{
            break;
        }
    }
    sort(query + 1,query + 1 + cnt,cmp);
    cdq(1,cnt);
    For(i,1,ans[0]){
        Pri(ans[i]);
    }
    #ifdef VSCode
    write();
    system("pause");
    #endif
    return 0;
}

由此问题发散下去，当我们遇到一个四维的问题时。

解决的方法是再加上一个cdq分治维护第四个维度。也就是cdq分治套cdq分治加上树状数组，每个询问加入8个查询。

解决这些问题的主要方法时观察出题目中给出的维度和隐藏的维度，例如逆序对中的t，然后如果这些维度符合前缀和的思想，也就是所有的操作有且仅有一次对后面的影响，就可以考虑用抽象的将其分离，考虑用降维的手段来解决。