常用积性函数的线性筛法整理

简单整理推导加代码，留复习用。

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线性筛素数

最简单也最基础，直接看代码就好了(……)

code:

void Euler_Phi_Prime(int n) {
    is_prime[1] = true;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!is_prime[i]) prime[++cnt] = i;
        for (int j = 1; j <= cnt && i * prime[j] <= n; j++) {
            is_prime[i * prime[j]] = true;
            if (i % prime[j] == 0) break;
        }
    }
}

线性筛欧拉函数

根据欧拉函数的两条性质(:)

• 设(p)为素数，若(p|n)且(p^2|n)，则(varphi(n)=varphi(n/p)* p)

• 设(p)为素数，若(p|n)且(p^2 shortmid n)，则(varphi(n)=varphi(n/p)* (p-1))

对于第一条性质，若(p|n)且(p^2|n)，那么显然(n)和(n/p)包含相同的质因子，并且将两者按照欧拉函数计算公式展开后只有(p)的指数不同，上下相除结果即为(p)，故此性质成立。

对于第二条性质，若(p|n)且(p^2 shortmid n)，说明(n)和(n/p)互质，根据欧拉函数为积性函数，我们显然可以得到(varphi(n)=varphi(n/p) * varphi(p))，又因为(varphi(p)=p-1)，所以显然成立。

void Euler_Phi_Prime(int n) {
    phi[0] = phi[1] = 0;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!phi[i]) prime[++cnt] = i, phi[i] = i - 1;
        for (int j = 1; j <= cnt && i * prime[j] <= n; j++) {
            phi[i * prime[j]] = phi[i] * ((i % prime[j]) ? (prime[j] - 1) : prime[j]);
            if (i % prime[j] == 0) break;
        }
    }
}

线性求约数个数

考虑我们根据算数基本定理得到的推论之一：

一个正整数(N)的约数个数为：

[d(N)=prod_{i=1}^{m}(1+c_i) ]

在筛的过程中，我们记录(N)的最小素因子(st[N])

我们根据筛素数分成三种情况考虑：

(1.)当前的数(i)为素数的时候，显然它只有(1)和自己两个因子且只有自己一个素因子，此时(d(i)=2, st[i]=1)

(2.)当(i) % (prime[j]!=0)时，显然(i)不包含(prime[j])这个质因子，且(prime[j])一定是(i * prime[j])的最小质因子，因为我们是在从小到大枚举素数，这样(i * prime[j])就相当于比(i)多了一个因子(prime[j])，那么(i * prime[j])的约数和就为(:)

[d(i * prime[j])=(1+c_1)(1+c_2)……(1+c_m)(1+1) ]

最后的((1+1))即表示质因数分解后(prime[j])的指数为(1)，此时(d(i * prime[j])=d(i) * d(prime[j])) (st[i * prime[j]]=1).

(3.)当(i)%(prime[j]==0)时，显然(i)是包含(prime[j])这个质因子的，(i * prime[j])只是比(i)多了一个(i)的最小质因子，(()因为是从小到大枚举素数的())即(:)

[(i * prime[j])=(1+c_1+1)(1+c_2)……(1+c_m) ]

所以此时(d(i * prime[j])=d(i) / (st[i] + 1) * (st[i] + 2)) (st[i * prime[j]]=st[i]+1)

code：

void Euler_Phi_Prime(int n) {
    is_prime[1] = true, d[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!is_prime[i]) prime[++cnt] = i, d[i] = 2, st[i] = 1;
        for (int j = 1; j <= cnt && i * prime[j] <= n; j++) {
            is_prime[i * prime[j]] = true;
            if (i % prime[j] == 0) {
                d[i * prime[j]] = d[i] / (st[i] + 1) * (st[i] + 2);
                st[i * prime[j]] = st[i] + 1; break;
            }
            d[i * prime[j]] = d[i] * d[prime[j]], st[i * prime[j]] = 1;
        }
    }
}

线性筛约数和

考虑算术基本定理的另一个推论(:)

一个正整数(N)的约数和为(:)

[sd(N)=prod_{i=1}^{m}{largelbrace}sum_{j=0}^{c_i}(p_i)^j{large brace} ]

[sd(N)=(1+p_1+p_1^2+ ……+p_1^{c_1})(1+p_2+p_2^2+ ……+p_2^{c_2})……(1+p_m+p_m^2+ ……+p_m^{c_m})]

筛的过程中我们记录(st[i]=(1+p_i+p_i^2+ ……+p_i^{c_i}))

仍旧按筛素数的情况分成三种情况考虑(:)

(1.)当当前的数(i)为质数时，显然(i)只有(1)和自己两个因子，显然(sd[i]=st[i]=i+1)

(2.)当(i)%(prime[j]!=0)时，显然(i)并不包含(prime[j])这个质因子，且(prime[j])一定是(i * prime[j])的最小质因子，因为我们是在从小到大枚举素数，这样(i * prime[j])就相当于比(i)多了一个因子(prime[j])，答案多累加上(prime[j])的贡献即可(:)

[sd(i* prime[j])=(1+p_1+p_1^2+ ……+p_1^{c_1})……(1+p_m+p_m^2+ ……+p_m^{c_m})(1+prime[j])]

此时，(sd[i* prime[j]]=sd[i] * sd[prime[j]], st[i* prime[j]]=prime[j]+1)

(3.)当(i)%(prime[j]==0)时，显然(i)是包含(prime[j])这个质因子的，(i * prime[j])只是比(i)多了一个(i)的最小质因子，(()因为是从小到大枚举素数的())，所以(i* prime[j])的约数和就表示为(:)

[sd(i * prime[j])=(1+p_1+p_1^2+ ……+p_1^{c_1}+p_1^{c_1+1})……(1+p_m+p_m^2+ ……+p_m^{c_m})]

此时，(sd[i * prime[j]]=sd[i] / st[i] * (st[i] * prime[j]+1), st[i * prime[j]]=st[i]* prime[j]+1)

code：

void Euler_Phi_Prime(int n) {
    is_prime[1] = true, sd[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!is_prime[i]) prime[++cnt] = i, sd[i] = i + 1, st[i] = i + 1;
        for (int j = 1; j <= cnt && i * prime[j] <= n; j++) {
            is_prime[i * prime[j]] = true;
            if (i % prime[j] == 0) {
                sd[i * prime[j]] = sd[i] / st[i] * (st[i] * prime[j] + 1);
                st[i * prime[j]] = st[i] * prime[j] + 1; break;
            }
            sd[i * prime[j]] = sd[i] * sd[prime[j]], st[i * prime[j]] = prime[j] + 1;
        }
    }
}

线性筛莫比乌斯函数

窝太菜了，证明还是先鸽着吧(……)

code：

void Euler_phi(int n) {
	is_prime[1] = true, mu[1] = 1;
	for (int i = 2;  i <= n; i++) {
		if (!is_prime[i])
			prime[++cnt] = i, mu[i] = -1;
		for (int j = 1; j <= cnt && (i * prime[j]) <= n; j++) {
			is_prime[i * prime[j]] = true;
			if (i % prime[j] == 0) {
				mu[i * prime[j]] = 0;
				break;
			}
			mu[i * prime[j]] = -mu[i];
		}
	}
}