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题目信息

• 时间： 2019-07-01

• 题目链接：Leetcode

• tag： 整除 取余 规律 递归

• 难易程度：中等

• 题目描述：

  输入一个整数 n ，求1～n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。

  例如，输入12，1～12这些整数中包含1 的数字有1、10、11和12，1一共出现了5次。

示例1:

输入：n = 12
输出：5

示例2:

输入：n = 13
输出：6

提示

1. 1 <= n < 2^31

解题思路

本题难点

数字 n 是个 x 位数，记 n 的第 i 位为 n i ，则可将 n 写为 nx nx−1⋯n2 n1，n的位数都可能为1。

具体思路

将 1 ~ n 的个位、十位、百位、...的 1 出现次数相加，即为 1 出现的总次数。

某位中 11出现次数的计算方法：

根据当前位 cur 值的不同，分为以下三种情况：

• cur=0：此位 1的出现次数只由高位 high决定，high×digit
• cur=1： 此位 1的出现次数只由高位 high和地位low决定，high×digit+low+1
• cur !=1：此位 1的出现次数只由高位 high决定，(high+1)×digit

代码

class Solution {
    public int countDigitOne(int n) {
      //设计按照 “个位、十位、...” 的顺序计算
        int digit = 1,res = 0;
        int high = n / 10 ,cur  = n% 10,low = 0;
      //当 high 和 cur 同时为 0 时，说明已经越过最高位，因此跳出
        while(high != 0 || cur != 0){
            if(cur == 0){
                res += high * digit;                
            }else if(cur == 1){
                res += high * digit + low + 1;                
            }else{
                res += (high + 1) * digit;
            }
          //将 cur 加入 low ，组成下轮 low
            low += cur * digit;
          //下轮 cur 是本轮 high 的最低位
            cur = high % 10;
          //将本轮 high 最低位删除，得到下轮 high
            high /= 10;
          //位因子每轮 × 10
            digit *= 10;
        }
        return res;
    }
}

复杂度分析：

• 时间复杂度 O(logn) ： 循环内的计算操作使用 O(1) 时间；循环次数为数字 n 的位数，即 log n ，因此循环使用 O(logn) 时间。
• 空间复杂度 O(1) ： 几个变量使用常数大小的额外空间。

其他优秀解答

解题思路

f(n))函数的意思是1～n这n个整数的十进制表示中1出现的次数，将n拆分为两部分，最高一位的数字high和其他位的数字last，分别判断情况后将结果相加。

示例1:

例子如n=1234，high=1, pow=1000, last=234

可以将数字范围分成两部分1~999和1000~1234

1~999这个范围1的个数是f(pow-1)
1000~1234这个范围1的个数需要分为两部分：
	千分位是1的个数：千分位为1的个数刚好就是234+1(last+1)，注意，这儿只看千分位，不看其他位
	其他位是1的个数：即是234中出现1的个数，为f(last)
所以全部加起来是f(pow-1) + last + 1 + f(last);

示例2:

例子如3234，high=3, pow=1000, last=234

可以将数字范围分成两部分1~999，1000~1999，2000~2999和3000~3234

1~999这个范围1的个数是f(pow-1)
1000~1999这个范围1的个数需要分为两部分：
	千分位是1的个数：千分位为1的个数刚好就是pow，注意，这儿只看千分位，不看其他位
	其他位是1的个数：即是999中出现1的个数，为f(pow-1)
2000~2999这个范围1的个数是f(pow-1)
3000~3234这个范围1的个数是f(last)
所以全部加起来是pow + high*f(pow-1) + f(last);

代码

class Solution {
    public int countDigitOne(int n) {
        return f(n);
    }
    private int f(int n ) {
        if (n <= 0)
            return 0;
        String s = String.valueOf(n);
        int high = s.charAt(0) - '0';
        int pow = (int) Math.pow(10, s.length()-1);
        int last = n - high*pow;
        if (high == 1) {
            return f(pow-1) + last + 1 + f(last);
        } else {
            return pow + high*f(pow-1) + f(last);
        }
    }
}