改造二叉树 (长乐一中模拟赛day2T1)

1.改造二叉树

【题目描述】

小Y在学树论时看到了有关二叉树的介绍：在计算机科学中，二叉树是每个结点最多有两个子结点的有序树。通常子结点被称作“左孩子”和“右孩子”。二叉树被用作二叉搜索树和二叉堆。随后他又和他人讨论起了二叉搜索树。

什么是二叉搜索树呢？二叉搜索树首先是一棵二叉树。设key[p]表示结点p上的数值。对于其中的每个结点p，若其存在左孩子lch，则key[p]>key[lch]；若其存在右孩子rch，则key[p]<key[rch]；注意，本题中的二叉搜索树应满足对于所有结点，其左子树中的key小于当前结点的key，其右子树中的key大于当前结点的key。

小Y与他人讨论的内容则是，现在给定一棵二叉树，可以任意修改结点的数值。修改一个结点的数值算作一次修改，且这个结点不能再被修改。若要将其变成一棵二叉搜索树，且任意时刻结点的数值必须是整数（可以是负整数或0），所要的最少修改次数。

相信这一定难不倒你！请帮助小Y解决这个问题吧。

【输入格式】

       第一行一个正整数n表示二叉树结点数。结点从1~n进行编号。

第二行n个正整数用空格分隔开，第i个数ai表示结点i的原始数值。

此后n - 1行每行两个非负整数fa, ch，第i + 2行描述结点i + 1的父亲编号fa，以及父子关系ch，(ch = 0 表示i + 1为左儿子，ch = 1表示i + 1为右儿子)。

结点1一定是二叉树的根。

 

【输出格式】

       仅一行包含一个整数，表示最少的修改次数。

 

【样例输入】

3

2 2 2

1 0

1 1

 

【样例输出】

2

 

【数据范围】

20 % ：n <= 10 , ai <= 100.

40 % ：n <= 100 , ai <= 200

60 % ：n <= 2000 .

100 % ：n <= 10 ^ 5 ,  ai < 2 ^ 31. 

思路：

　　把这棵二叉树中序遍历

　　建立一个新的序列

　　我们会发现答案就是序列长度减去里面最长上升子序列的长度

　　但是

　　我们接着又会发现

　　里面会有错误的情况

　　所以我们要把当前序列变成一个处理后的序列(a[i]-=i)

　　然后跑一遍最长不下降子序列

　　答案就是序列长度减去最长不下降序列长度

　　但是我们又会发现数据范围是10^5

　　最长不下降序列是n^2的会超时

　　所以我们优化一下最长上升子序列的方法

　　舍弃具体序列元素转为只求长度

　　我们可以得出这样的方法：

int LIS()
{
    int num_lis=0,pos;
    lis[num_lis]=-0x7ffffff;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        tree_1[i]-=i;
        if(tree_1[i]>=lis[num_lis])
        {
            lis[++num_lis]=tree_1[i];
            continue;
        }
        pos=upper_bound(lis+1,lis+num_lis+1,tree_1[i])-lis;
        lis[pos]=tree_1[i];
    }
    return num_lis;
}

　　现在我们可以的很轻松的得出答案

　　然后ac了

来，上代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>

using namespace std;

int n,ai[100005],if_Z,lc[100005],rc[100005],new_tree=0;
int tree_1[100005],lis[100005];

char word;

inline void read_int(int &now_001)
{
    now_001=0,if_Z=1;word=getchar();
    while(word<'0'||word>'9')
    {
        if(word=='-') if_Z=-1;
        word=getchar();
    }
    while(word<='9'&&word>='0')
    {
        now_001=now_001*10+(int)(word-'0');
        word=getchar();
    }
    now_001*=if_Z;
}

void dfs(int now)
{
    /*
    if(now>n) return ;
    dfs(now*2),dfs(now*2+1);
    tree_1[++new_tree]=tree[now];
    */
    if(lc[now]) dfs(lc[now]);
    tree_1[++new_tree]=ai[now];
    if(rc[now]) dfs(rc[now]);
}

int LIS()
{
    int num_lis=0,pos;
    lis[num_lis]=-0x7ffffff;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        tree_1[i]-=i;
        if(tree_1[i]>=lis[num_lis])
        {
            lis[++num_lis]=tree_1[i];
            continue;
        }
        pos=upper_bound(lis+1,lis+num_lis+1,tree_1[i])-lis;
        lis[pos]=tree_1[i];
    }
    return num_lis;
}

int main()
{
    read_int(n);
    for(int i=1;i<=n;i++) read_int(ai[i]);
    int father,lor;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        read_int(father),read_int(lor);
        //tree[father*2+lor]=ai[i];
        if(lor==0) lc[father]=i;
        else rc[father]=i;
    }
    dfs(1);
    int ans=n-LIS();
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}