1087: [SCOI2005]互不侵犯King

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Description

　　在N×N的棋盘里面放K个国王，使他们互不攻击，共有多少种摆放方案。国王能攻击到它上下左右，以及左上
左下右上右下八个方向上附近的各一个格子，共8个格子。

Input

　　只有一行，包含两个数N，K （ 1 <=N <=9, 0 <= K <= N * N）

Output

　　方案数。

Sample Input

3 2

Sample Output

16

 

刚开始看上去很像八皇后问题，爆搜？实际上写了一遍爆搜发现TLE了，仔细分析可以发现状态实在是太多了，于是开始翻题解，发现是动态规划

状压DP，以二进制压缩状态

首先给出动规方程：

[f[i][j][now]=sum _{last=0}^{(1<<n)-1}f[i-1][j-num[now]][last]]

其中最大的难点是怎么判断国王位置合法，这就要用到神奇的二进制位运算了，想起了著名的约瑟夫问题，也是利用二进制得出答案

对于当前行，设当前状态为now，!now&(now<<1)，如果成立，则当前行合法。因为这就排除了两个国王相邻的可能性

对于上下相邻的两行，用类似算法，!(now&(last<<1))  &&  !((now<<1)&last)  &&  !(now&last)

是不是看的眼睛有点花，需要仔细分析

为了代码简洁，实际使用continue进行排除处理

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;

#define LL long long

const int MAXN=1<<9;

LL n,k,ans;
LL num[MAXN],f[10][82][MAXN];

void init()
{
    for(int i=0;i<(1<<n);i++)
        if(!(i&(i<<1)))
        {
            int t=i;
            while(t)
            {
                num[i]+=t&1;
                t>>=1;
            }
            f[1][num[i]][i]=1;
        }
}

int main()
{
    cin>>n>>k;
    init();
    for(int i=2;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=k;j++)
            for(int now=0;now<(1<<n);now++)
            {
                if((now&(now<<1))||j<num[now]) continue;
                for(int last=0;last<(1<<n);last++)
                {
                    if(now&(last<<1)||((now<<1)&last)||(now&last)) continue;
                    f[i][j][now]+=f[i-1][j-num[now]][last];
                }
            }
    for(int i=0;i<(1<<n);i++)
        ans+=f[n][k][i];
    cout<<ans;
    return 0;
}