洛谷P2822 组合数问题（题解）

https://www.luogu.org/problemnew/show/P2822（题目传送）

先了解一下有关组合数的公式：（m在上，n在下）

组合数通项公式：C（n,m）=n!/[m!(n-m)!]=(n-m+1)!/m!

组合数递推公式：C（n,m）=C(n-1,m-1)+C(n-1,m)

发现组合数的递推的直观图像形式就是杨辉三角（第i行第j列的数等于C（i-1,j-1））

由于题目要求多组组合数，便可以递推组合数做预处理（直接用通项公式算什么的太粗暴（慢）了）。一看数据范围，保证让普通范围溢出的节奏啊，但定心一看，我们只用知道每个组合数是否能整除k就可，所以可以每次递推算组合数时模k。　　TIP：递推不要忘了初始状态（边界）

求出组合数后，发现如果对每次询问都从头到尾扫一遍的话保准会超时，便想到了一个能有效减少查询统计时的复杂度，每一次查询O(n)降到O(1)的神器——前缀和。求一个矩阵的前缀和，只要记住公式：上加左，减上左，加自己。

AC代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int c[2002][2002],n[10001],m[10001],dp[2001][2001];
int main()
{
    int t,k,mmax=0,nmax=0;
    cin>>t>>k;
    for(int i=1;i<=t;i++)
    {
        scanf("%d%d",&n[i],&m[i]);
        if(nmax<n[i]) nmax=n[i];
        if(mmax<m[i]) mmax=m[i];
    }    
    c[1][1]=1;
    int mmaxb=mmax;
    if(mmax>nmax) mmax=nmax+1;
    else mmax++;
    for(int i=2;i<=nmax+1;i++)
        for(int j=1;j<=min(i,mmax);j++)
        {
            c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%k;
            if(!c[i][j]) dp[i-1][j-1]=1;
        }//这里用杨辉三角递推的组合数，***需要多做一行***，其实没有直接推组合数方便。
    for(int j=1;j<=mmaxb;j++) dp[0][j]+=dp[0][j-1];
    for(int i=1;i<=nmax;i++)
        for(int j=0;j<=mmaxb;j++)
        {
            if(!j) dp[i][j]+=dp[i-1][j];
            else
                dp[i][j]+=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]-dp[i-1][j-1];
        }
    for(int i=1;i<=t;i++) cout<<dp[n[i]][m[i]]<<endl;
    return 0;
}