P1962 斐波那契数列-题解（矩阵乘法扩展）

https://www.luogu.org/problemnew/show/P1962(题目传送)

n的范围很大，显然用普通O(N)的递推求F(n)铁定超时了。这里介绍一种用矩阵快速幂实现的解法：

首先普及一下矩阵乘法：

一个m*q的m行q列的矩阵A*一个q*n的q行n列的矩阵B得到一个m*n的m行n列的矩阵AB,则有:

通俗的讲，就是新矩阵第i行j列的数等于第一个矩阵第i行的q个数分别乘第二个矩阵的第j列的q个数并把它们加起来的和。注意，矩阵乘法满足结合律和分配律，但不满足交换律。

我们可以把第n项F(n)、第n-1项F(n-1)写成一个1*2的矩阵[Fn  ​​Fn-1] 并考虑怎样由前面的[Fn-1  ​​Fn-2]推过来。可以先把[Fn  ​​Fn-1]写成[1*Fn-1+1*Fn-2  ​​1*Fn-1+0*Fn-2]的形式，试推导一个矩阵base，使

[Fn-1  ​​Fn-2]*base=[Fn  ​​Fn-1]=[Fn-1+Fn-2  ​​Fn-1]，因为Fn-1和Fn-2都在结果矩阵的第一列以系数为1的形式出现，结果矩阵是一个1*2的矩阵，所以base为一个2*2的矩阵，且第一列为1，1；

Fn-1和Fn-2在结果矩阵的第二列以系数为1、0的形式出现，所以结果矩阵第二列为1,0。即base= ，[Fn-1  ​​Fn-2]*=[Fn  ​​Fn-1]。

同理可以推出[Fn-2  ​​Fn-3]**=[Fn  ​​Fn-1]…………[F2 F1]*^(n-2)=[Fn Fn-1]。

此时本题的核心便是计算出base=的n-2次方就行了，可以用矩阵快速幂做（换汤不换药）

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const long long mod=1000000007;
struct matrix{                    //用结构体构建矩阵类型 
    long long a[3][3];
}ans,a;
int init()                        //初始化矩阵。ans存放题解中提到的1*2的矩阵，这里为了统一用同一种矩
                                //阵乘法的处理，又发现若矩阵的一行（或一列）全为0，则乘法的结果矩阵
                                //的对应行（或列）也全为0，不影响结果,便用0把ans扩充成2*2的矩阵了 。 
{
    ans.a[1][1]=ans.a[1][2]=1;
    a.a[1][1]=a.a[1][2]=a.a[2][1]=1;
}
matrix operator *(matrix a,matrix b)//矩阵乘法实现（运算符重载） 
{
    matrix c;
    for(int i=1;i<=2;i++)
        for(int j=1;j<=2;j++) c.a[i][j]=0;
    for(int i=1;i<=2;i++)
        for(int j=1;j<=2;j++)
            for(int k=1;k<=2;k++)
            c.a[i][j]=(c.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j])%mod;
    return c;        
}
int main()
{
    long long n;
    cin>>n;
    if(n<=2)
    {
        cout<<1;
        return 0;
    }
    long long b=n-2;
    init();
    while(b)                    //万年不变的快速幂 
    {
        if(b&1) ans=ans*a;
        a=a*a;
        b>>=1;
    }
    cout<<ans.a[1][1];
    return 0;
}