<知识整理>树--堆及其应用

预备知识：　

　　完全二叉树的定义：一个深度为k数的二叉树（设根节点的深度为1），若二叉树深度从1到k-1层都是满的，而第k层的节点都集中在左边（即第k层不存在两节点之间有空缺），那么此数就被叫做完全二叉树。

　　完全二叉树有几个重要的性质（编号从根节点由1开始广度优先从左到右排）：

　　编号为i的节点左儿子（如果有的话）的编号为2*i，右儿子（如果有的）的编号为2*i+1，父节点（如果有的话）的编号为i/2。由此还可知道i节点有父亲的充要条件是i/2>=1，有儿子的充要条件是i*2<=size（size为该完全二叉树最大点编号）

堆的概述：

　　堆（heap）用数组存储，可看做一个完全二叉树，数组元素的下标即树节点的编号，故可由上性质知a[i]的父亲（如果有的话）为a[i/2]，左儿子和右儿子（如果有的话）分别为a[i*2]和a[i*2+1]。

　　大根堆：父亲>=儿子；小根堆：父亲<=儿子。由大小根堆定义知堆顶一定是大根堆里最大、小根堆里最小的元素。

　　堆的核心操作为put操作（向堆里添一个元素）和get操作（取出堆顶并删除）。

以小根堆为例讲解二操作：

  put：1.在堆尾插入一个元素，设其为当前节点；

　　 2.当前节点与其父亲（如果有的话，否则直接结束）比较;

　　 3.若比父亲小，与父亲交换值，更新当前节点为父节点，并继续重复第2步：否则结束。

　　核心代码：

void put(int x)
{
    heap[++heap_size]=x;
    int now,next;//当前节点，父亲节点
    now=heap_size;
    while(now>1)
    {
                next=now>>1;
        if(heap[now]>=heap[next]) return;
        swap(heap[now],heap[next]);
        now=next;
    }
}            

  get:1.保存堆顶元素，让最后一个元素覆盖堆顶元素，堆的大小减一，设当前节点为根节点；

　　2.当前节点与其儿子（如果有的话，否则之间结束、返回保存的堆顶元素）中值最小的比较；

　　3.若比儿子大，交换它们的值，更新当前节点为该儿子节点，继续第2步比较；否则结束，并返回保存的堆顶元素。

  核心代码：

int get()
{
        int ans=heap[1];
    heap[1]=heap[size--];
    int now=1,next;
    while(now*2<=size)
    {
        next=now*2;
        if(next<size&&heap[next+1]<heap[next]) next++;//找到最小的儿子
        if(heap[now]<=heap[next]) break;
        swap(heap[next],heap[now]);
        now=next;
    }
        return ans;
}

　　如为大根堆，只需比较时让大的“下潜”就行。

　　时间复杂度：都是O（log n）

应用：

　　1.堆排序:

　　　　由大小根堆定义知堆顶一定是大根堆里最大、小根堆里最小的元素，便可将待排元素一个个put到一个队里，并一个个get出来，时间复杂度为O(n log n)。

　　2.STL优先队列（实质是堆）：特点是可以自动排序，详情见大佬博客：

　　https://blog.csdn.net/qq_19656301/article/details/82490601

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最后BB：

　　可见堆的时间复杂度都是最坏情况的复杂度，个人认为数据极好的话堆排序应该比sort快。。。 不过普通数据用sort准没错。。。

（日后可能更新）