<知识整理>2019清北学堂提高储备D4

今天主要讲一下数学的知识。

　　一、进制转换：

　　　　　　十进制到k进制：短除法：顺除至0，逆序取余。

　　　　　　k进制转十进制：乘权相加。

　　　　　　常见进制：四进制（对应2位二进制）、八进制（对应3位二进制）、十六进制（对应4位二进制，A表示10，B表示11，...，F表示15）

　　　　　　常见进制在c++中的表示：二进制：前加0b；八进制：前加0；十六进制：前加0x。　

　　　　　　小提示：只有十进制下的读数是“...几千几百...”的读法，其他进制都直接把数位上的数读出来就行辣。

　　二、高精度　

　　　　　　常见数据类型的范围：int:[-2³²,2³²-1]

　　　　　　　　　　　　　　　　long long ：[-2⁶³,2⁶³-1]≈10²⁰

　　　　　　那么对于超过这些数据范围的数怎么办呢？（我才不说有个int_128） ，这时候就要用到高精度了。高精度就是用来解决大整数的运算。

　　　　　　有关高精度加减乘除的基本讲解可见我的另一篇博客，这里只说说新的东西。

　　　　https://www.cnblogs.com/InductiveSorting-QYF/p/10679946.html（博客地址）

　　　　　　对于高精度，我们可以写好高精度重载运算符的模板，码程序时先用int型码好程序，用小数验证算法正确性后再将int改成高精型（结构体的运用），否则程序出错后难以判断出错在算法还是高精。对于初始化结构体，可用构造函数（面向对象的知识），简单来说就是一个不写类型、函数名为结构体类型名、写在结构体里的函数，该函数每当有该结构体对象声明时都会被调用一次。（与此对应的还有析构函数，有兴趣的OIER可以看看：https://www.runoob.com/cplusplus/cpp-constructor-destructor.html（C++ 类构造函数 & 析构函数

） 　　　配合C++中struct和class的区别  食用更佳）

　　　　　　代码如下：

struct gaojing
{
    int z[100010];
    int l;
    gaojing()
    {
        l=1;
        memset(z,0,sizeof(z));
    }
}

　　　　　　重载运算符（以加号为例）代码：

gaojing operator+(gaojing a,gaojing b)
{
    gaojing c;
    
    int l = max(a.l,b.l);
    for (int i=0;i<l;i++)
    {
        c.z[i] += a.z[i] + b.z[i];
        c.z[i+1] += c.z[i] / 10;
        c.z[i] = c.z[i] % 10;
    }
    if (c.z[l] != 0) l++;
    c.l = l;
    
    return c;
}

　　　　　细心的同学会发现，其实这个有个问题。想必大家都知道函数传值调用与传址调用的区别：传值调用不会改变主调用函数中变量的值，而传址调用则会改变。同时由此发现每次传值调用都会拷贝一份主调用函数的变量。这个变量小的话还好，但如果要是很大的数组的话，必然会增加额外的时间复杂度，而且一个程序的加法运算又很多，那么调用函数的次数也很多，总的一看，时间就被浪费许多了。　　

　　　　　　怎么处理这种情况？

　　　　　　既然传值调用不行，传址调用就好了嘛。同时为了防止打码手抖改掉加数的值，可在形参表中加上const。正确代码如下：

gaojing operator+(const gaojing &a,const gaojing &b)
{
    gaojing c;
    
    int l = max(a.l,b.l);
    for (int i=0;i<l;i++)
    {
        c.z[i] += a.z[i] + b.z[i];
        c.z[i+1] += c.z[i] / 10;
        c.z[i] = c.z[i] % 10;
    }
    if (c.z[l] != 0) l++;
    c.l = l;
    
    return c;
}

　　　　　　其他的运算符重载大都与此相差不大。这里再说明一下输入输出的重载：

代码如下：

struct gaojing
{
    int z[100010];
    int l;

    friend istream& operator>>(istream &cin, gaojing &a)
    {
        static char s[100010];
        cin >> s;
        int l=strlen(s);
        for (int i=0;i<l;i++)
            a.z[i] = s[l-i-1] - '0';
        a.l = l;
    
        return cin;
    }
    
    friend ostream& operator<<(ostream &cout,const gaojing &a)
    {
        for (int i=a.l-1;i>=0;i--)
            cout << a.z[i];
        
        return cout;
    }
};

输入/出的重载有点特别。它们需要写在struct的定义中。（好像因为是友联函数什么的，就是那个friend啦。），而且重载的是“<<”和">>"。istream和ostream是输入和输出流，函数形参表的意思差不多是：将cin里的数读到a中；将a里的数输出到cout中。只能是cin和cout，不能scanf和printf。（百度警告）。重载完各种运算符后，就可以把int型扔掉了，写程序真方便（高精模板真多）

　　　　最后TIP：以上提及的四则运算符都没有考虑有负数出现的情况，有负数需另考虑。