快速傅里叶变换学习笔记（总结向）

初次接触请点击：一小时学会快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform）

关键字：多项式系数表达法与点值表达法（有关插值可行性的证明），复数，单位根，n次单位向量，折半引理，消去引理，

　　

  

　　

　　

　　

　　蝴蝶操作（为减小常数、空间）

复数类型可以自己实现，也可以使用C++自带STL库中的complex ，详细见：C++STL complex吃书使用指南

小注意点：

　　1、最终的n为2的整数次幂（否则单位根数组下标会有分数的类似情况，很不好处理。数组下标不能为实型）。

　　2、因为运算多次设计复数，要注意各个运算符链接的数的类型。

　　3、注意精度，对一个double型数a四舍五入取整，可直接（int）（a+0.5） ，这是精度最高的一种方法。

　　4、最后答案的形式多为整数，注意这时整数的规模范围为 做乘法前的多项式中单个的系数规模 的平方 再乘项数（总之多半情况会很大，int型容易爆）

 题目：P1919 【模板】A*B Problem升级版（FFT快速傅里叶）

#include<complex>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
//  *标记为FFT重点代码
using namespace std;

const int N=524288;

const double PI=acos(-1);


double a[N],b[N];

long long ans[N];

char num[1000005];
int w1,w2,n;

complex<double>omege[N],reomege[N],d[N],c[N];

void init()
{
    scanf("%s",num);
    int l=strlen(num);
    while(l>4)
    {
        a[w1]=(num[l-4]-'0')*1000+(num[l-3]-'0')*100+(num[l-2]-'0')*10+num[l-1]-'0';
        l-=4;
        c[w1]=a[w1];
        w1++; 
    }
    if(l)
    {
        for(int i=0;i<l;++i)
            a[w1]=a[w1]*10+num[i]-'0';
        c[w1]=a[w1];
        w1++;
    }
    scanf("%s",num);
    l=strlen(num);
    while(l>4)
    {
        b[w2]=(num[l-4]-'0')*1000+(num[l-3]-'0')*100+(num[l-2]-'0')*10+num[l-1]-'0';
        d[w2]=b[w2];
        l-=4;
        w2++;
    }
    if(l)
    {
        for(int i=0;i<l;++i)
            b[w2]=b[w2]*10+num[i]-'0';
        d[w2]=b[w2];
        w2++;
    }
    n=w1+w2-1;
    n=1<<((int)ceil(log(n)/log(2)));
    for(int i=0;i<n;++i)//*
    {
        omege[i]=complex<double>(cos(2*PI/n*i),sin(2*PI/n*i));
        reomege[i]=conj(omege[i]);
    }
}

inline void FFT(complex<double> *a,complex<double> *omege)//*
{
    for(int i=0,j=0;i<n;++i)
    {
        if(i>j) swap(a[i],a[j]);
        for(int l=n>>1;(j^=l)<l;l>>=1);//反向加1
    }
    complex<double> k;
    for(int l=2;l<=n;l<<=1)
    {
        for(int i=0;i<n;i+=l)
            for(int j=i;j<i+l/2;++j)
            {
                k=omege[n/l*(j-i)]*a[j+l/2];
                a[j+l/2]=a[j]-k;
                a[j]=a[j]+k;
            }
    }
}

int main()
{
    init();
    FFT(c,omege);
    FFT(d,omege);
    for(int i=0;i<n;++i)//*
        c[i]*=d[i];
    FFT(c,reomege);
    for(int i=0;i<n;++i)//*
        c[i]/=n;
    int l=w1+w2-1;
    for(int i=0;i<l;++i)
    {
        ans[i]+=c[i].real()+0.5;
        if(ans[i]>=10000)
        {
            ans[i+1]+=ans[i]/10000;
            ans[i]%=10000;
        }
    }
    while(!ans[l]&&l)
        --l;
    printf("%d",ans[l--]);
    while(l>=0)
        printf("%04d",ans[l--]);
    return 0;
}