矩阵乘法及应用（矩阵快速幂）

有关矩阵的深度学习，可见工程数学线性代数 。这里只简单说明一下，所谓矩阵，可看做把一堆数按一定规律写在一起的集合。

矩阵乘法：

对于一个n行q列的矩阵A和一个q行m列的矩阵B，A*B=C，C是一个n行m列的矩阵，且结果矩阵C第i行与第j列交叉位置的那个值，等于第一个矩阵A第i行与第二个矩阵B第j列，对应位置的每个值的乘积之和，即：C_ij =Σa_ik*b_kj(1<=i<=n,1<=j<=m,1<=k<=q)。有定义得，若矩阵A、B做A*B的乘法，则A的列数必须等于B的行数。且若A*B=C成立， B*A=C不一定成立，即：

　　　　矩阵乘法不满足交换律，但满足结合律。

代码：

const int N=100;  
int c[N][N];  //c是最终的矩阵
void multi(int a[][N],int b[][N],int n)  
{  
    memset(c,0,sizeof c);  
    for(int i=1;i<=n;i++)  
        for(int j=1;j<=n;j++)  
        　　for(int k=1;k<=n;k++)  
        　　　　c[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];  
} 

若调整一下for的ijk顺序，调为ikj，实际运行效率会比上文代码快3倍左右，这里涉及到计算机原理的一些知识。

优化代码：

const int N=100;  
int c[N][N];  //c是最终的矩阵
void multi(int a[][N],int b[][N],int n)  
{  
    memset(c,0,sizeof c);  
    for(int i=1;i<=n;i++)  
        for(int k=1;k<=n;k++)  
            for(int j=1;j<=n;j++)  
        　　　　c[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];  
}     

简单来说，计算机里有一种叫高速缓存的东西，调用高速缓存中元素的时间花销远小于向内存查询元素，调用数组元素[i][j]时，它会把紧挨该数组元素之后的一些元素[i][j+1]...[i][j+k]放入高速缓存里，若下一个调用的数组元素正好在缓存里，则时间花销会很小；否则会花费更多的时间去在内存中寻找要调用的元素。简而言之，为了优化效率，对数组元素进行遍历时尽量按顺序遍历。整体越有序，时间效率就越高。

再说明为什么可以调整ijk的顺序。c[i][j]的结果实际上是所有a[i][k]*b[k][j]结果的积累值。不管ijk的顺序如何，都会将三元组（i,j,k）（1<=i<=n,1<=j<=m,1<=k<=q）都遍历一遍，即所有a[i][k]*b[k][j]的计算都被且只被计算了一次，那么最终的积累值就不会改变，故ijk的顺序不会影响答案的正确性。

矩阵快速幂：

　　数的快速幂可将O(n)的计算次数降低到O(logn）的规模，单次矩阵乘法的计算复杂度为O(n^3) n为矩阵大小规模。对于一个大小规模为n的矩阵求它的k次幂，暴力计算复杂度为O（n^3 k）。运用快速幂的知识，将矩阵作为快速幂的底数，可将复杂度降到O( n^3 log k）。代码方面只需在快速幂代码的基础上重载一下运算符就好。

应用：

　　矩阵快速幂加速递推:

　　　　见矩阵快速幂和矩阵乘法

　　　　矩阵乘法和方程组之间的转化关系。

　　　　对于一个有限的一次线性递推式，总可以写成矩阵的形式。最坏的情况下，也能写成主矩阵（要进行快速幂的矩阵）的第一行分别为递推式中，矩阵的列数对应的项的系数，其余行分别为主矩阵行对应的项所对应列为1、其余列为0；副矩阵为n行1列，分别将项按顺序写下的矩阵；结果矩阵就为副矩阵每项的下标统一加一个数（该数就为主矩阵的幂数）的矩阵  的情况。