基础数论记录

(mathfrak{Computers are fast, but not infinitely fast.})

这篇数论整理参考了某博客园大爷在2018-07-05撰写的博客《基础数论复习》。

费马小定理

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对于质数 (p) 和任何整数 (a) ，有 (a^pequiv apmod{p}) 。

反之，若满足 (a^pequiv apmod{p}) ，(p) 有很大概率是质数。

将两边同时约去一个 (a) ，则有 (a^{p-1}equiv1pmod{p}) 。

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二次探测定理

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如果 (p) 是奇素数，则 (x^2≡1pmod{p}) 的解为 (x≡1) 或 (xequiv p-1pmod{p}) 。

这是很容易证明的：

[egin{array}{}x^2 equiv 1 pmod p \x^2 -1 equiv 0 pmod p \(x-1) (x+1)equiv 0 pmod pend{array} ]

又(ecause p) 为奇素数，有且仅有 (1,p) 两个因子，
( herefore) 只有两解(x equiv 1) 或 (x equiv p - 1 pmod p) 。

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生日悖论

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在一个班级里，假设有(60)人，所有人生日不同概率是多少？

依次按人考虑，第一个人有 (1) 的概率，第二个人要与第一个人不同就是 (1-frac{1}{365}) ，第三个人与前两人不同，那么就是 (1-frac{2}{365}) 。那么第 (i) 个人就是 (1-frac{i}{365}) 。

那么很明显，我们可以推出：

[displaystyle prod_{i=1}^{n} (1 - frac{i-1}{365}) = prod _{i=0}^{n-1}frac{365-i}{365}=frac{365^{underline{n}}}{365^n} ]

设我们代入 (60) 进行计算，则概率等于 (0.0058) ，也就是说基本上不可能发生。

因为和大众的常识有些违背，所以称作生日悖论。

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朴素欧几里得

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(gcd(a,b) = gcd(b, a mod b))。

对，就这个。没了？证明：假设 (a=kb+r) ，有$ r = a mod b$ 。不妨设 (d) 为 (a) 和 (b) 的一个任意一个公约数，则有 (a equiv b equiv 0 pmod d) 。

由于同余的性质 (a-kb equiv r equiv 0 pmod d) 因此 (d) 是 (b) 和 (amod b) 的公约数。

对于 (a,b) 有负数的情况，我们需要将他们其中一个负数加上另外一个数直到非负。（由于前面朴素欧几里得定理是不会影响的）两个负数，直接将整个式子反号，然后放到 (c) 上就行了。

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Will Update.