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  • 同余 学习笔记

    前言:从寒假开始学了好几遍,都没完全掌握QAQ

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    在讲同余之前,我们先来讲扩展欧几里得。

    扩展欧几里得算法

    首先,我们知道这样一个式子:

    $gcd(a,b)=gcd(b,amodb)$。

    辗转相除法,可以用来求两个数的最大公因数。

    而扩展欧几里得($exgcd$),是用来求不定方程$ax+by=c$的解的。

    裴蜀定理:设$a$和$b$不全为$0$,则存在$x$和$y$,使得$ax+by=gcd(a,b)$。

    我们可以用数学归纳法证明。

    在$gcd$的最后一步,当$b=0$时,$gcd(a,b)=a$。此时有一组解$x=1,y=0$。

    当$b$不为$0$时,我们递归求$gcd(b,a%b)$。假设存在一对整数$x^{'},y^{'}$,满足

    $bx^{'}+(a mod b)y^{'}=gcd(b,amodb)$。

    因为$gcd(b,a mod b)=gcd(a,b)$,

    所以$bx^{'}+(a mod b)y^{'}=gcd(a,b)$。

    我们变换一下形式:$bx^{'}+(a-a/b*b)y^{'}=gcd(a,b)$,

    移项得:$ay^{'}+b(x^{'}-a/by^{'}=gcd(a,b))$。

    令$x=y{'},y=x^{'}-a/by^{'}$,我们就得到了$ax+by=gcd(a,b)$。

    需要注意的是,通过$exgcd$找的解只是满足$ax+by=gcd(a,b)$的一组解,我们需要通过推导求得满足$ax+by=c$的解。

    通过扩展欧几里得来推导同余方程的一组解

    当$gcd(a,b)$整除$c$时,设$g=gcd(a,b)$,

    现在有一组解$(x_{0},y_{0})$满足$ax_{0}+by_{0}=g$。

    两边同时乘$c/g$,

    则有$a(c/g*x_{0})+b(c/g*y_{0}=c)$,

    对比原方程$ax+by=c$,

    我们可以得到:

    $x=c/g*x_{0},y=c/g*y_{0}$。

    当$gcd(a,b)$不整除$c$时,原不定方程无整数解。

    通过同余方程的一组解推导同余方程的通解

    对于两组满足同余方程的解:

    $ax_{i}+by_{i}=c$

    $ax_{j}+by_{j}=c$(假设$i$大于$j$)

    通过联立移项得到:$a(x_{i}-x_{j})=b(y_{j}-y_{i})$

    两边同除以$g(gcd(a,b))$,

    得到$frac {a}{g} (x_{i}-x{j})=frac {b}{g} (y_{j}-y_{i})$

    因为$frac {a}{g}$和$frac {b}{g}$是互质的,所以$frac {b}{g}$是$x_{i}-x_{j}$的倍数,$frac {a}{g}$是$y_{j}-y_{i}$的倍数($-frac {a}{g}$是$y_{i}-y_{j}$的倍数)。

    这样我们就知道了,$x$两个解的差值是$frac {a}{g}$的倍数,$y$同理。

    因此,

    $x=x_{0}+frac {b}{g}*k$

    $y=y_{0}-frac {a}{g}*k$

    通过同余方程的通解推导同余方程的最小正整数解

    通过$x=x_{0}+frac {b}{g}*k$,

    我们可以得到$xmodfrac {b}{g}=x_{0}$。

    我们可以发现,当$x$为正整数时,通过上面的式子一定可以得出最小正整数解$x_{0}$

    当求出的特解$x$小于$0$时,我们应该$while(x<0) x+=frac {b}{g}$,让$x$大于$0$后,再进行操作。

    对于$y$同理。

    附扩展欧几里得模板代码:

    void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
    {//通过裴蜀定理的证明我们可以知道,当前状态的解时通过下一状态的解求得的,exgcd求解
     //本身就是一个自下而上递归的过程 
        int t;
        if (!b){x=1;y=0;}
        else{
            exgcd(b,a%b,x,y);
            t=x;
            x=y;//当前状态的x是下一状态的y 
            y=t-(a/b)*y;//求得这一阶段的y 
        }
    }
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