不知道我现在为什么还要学这玩意…
看周围的人都会，就学他一手
第一类斯特林数。
(egin{bmatrix}n\mend{bmatrix}) 表示第一类斯特林数。
其组合意义是 (n) 个元素分成 (m) 个环的方案数。
递推式子。
边界 (egin{bmatrix}n\0end{bmatrix} = [n=0])。
(egin{bmatrix}n\mend{bmatrix}=egin{bmatrix}n-1\m-1end{bmatrix} + (n-1)egin{bmatrix}n-1\mend{bmatrix})
(egin{bmatrix}n-1\m-1end{bmatrix}) 是因为可以新建一个环。
((n-1)egin{bmatrix}n-1\mend{bmatrix}) 是因为可以放在 (n-1) 个元素每个元素的后边。
那么式子显然成立。
性质。
(sum_{i}^{n} egin{bmatrix}n\iend{bmatrix} = n!)
证明:对于一个排列 (p)，(i) 向 (p_i) 连边，和构成的环是一一对应的，那么就是 (n!)。
(x^{underline{n}} = sum_{i}^{n}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix} (-1)^{n-i}x^i)。
证明:尝试归纳法证明这个。
(x^{underline{n+1}} = (x-n)x^{underline{n}})。
(=(x-n)(sum_{i}^{n}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix} (-1)^{n-i}x^i))。
(=x(sum_{i}^{n}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix} (-1)^{n-i}x^i) - n(sum_{i}^{n}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix} (-1)^{n-i}x^i))。
(=sum_{i}^{n}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix} (-1)^{n-i}x^{i+1} + n(sum_{i}^{n}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix} (-1)^{n-i+1}x^i))。
(=sum_{i=1}^{n+1}egin{bmatrix}n\i-1end{bmatrix} (-1)^{n-i+1}x^{i} + n(sum_{i=0}^{n+1}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix} (-1)^{n-i+1}x^i))。
(=sum_{i=1}^{n+1}(egin{bmatrix}n\i-1end{bmatrix} + negin{bmatrix}n\iend{bmatrix}) (-1)^{n-i+1}x^i)。
(ecause egin{bmatrix}n\mend{bmatrix}=egin{bmatrix}n-1\m-1end{bmatrix} + (n-1)egin{bmatrix}n-1\mend{bmatrix})
(=sum_{i=1}^{n+1}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix} (-1)^{(n+1)-i}x^i)。
(ecause egin{bmatrix}n+1\0end{bmatrix}=0)。
那么结论仍成立。
求第一类斯特林数。
(sum_{i=0}^{n}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix} x^i = prod_{i=0}^{n-1}(x+i))。
(F(x)^n = prod^{n-1} (x+i))。
(F(x)^{2n} = prod^{2n-1} (x+i))。
(F(x)^{2n} = F(x)^n imes F(x+n)^n)。
(F(x+n)^n = sum_{i=0}^{n}a_i(x+n)^i)。
(= sum_{i=0}^n a_i sum_{j=0}^{i} inom{i}{j}n^{i-j}x^{j})。
(= sum_{i=0}^{n}(sum_{j=i}^n inom{j}{i}n^{j-i}a_j) x^i)。
(= sum_{i=0}^{n}(i!)^{-1} x^i (sum_{j=i}^{n}))
（没填完，以后再说）
第二类斯特林数。
(egin{Bmatrix}n\mend{Bmatrix}) 表示第二类斯特林数。 其组合意义是 (n) 个元素划分成 (m) 个非空子集的方案数。