ARC089E GraphXY 构造

传送门

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在Luogu上评了”NOI“之后评级变成了”普及+/提高“……我觉得我可能要退群了

考虑构造一个这样的图：

其中上半部分是从(S)开始的一条长(100)、每条边权都为(x)的链（长度超过(100)显然是没有意义的），下半部分是以(T)结束的一条长(100)、每条边权都为(y)的链。在这两条链中间，有(101 imes 101)条边（上图中只画出了部分），边权为一个矩阵(f_{i,j})。如果要经过(f_{i,j})对应的边，那么需要从(S)开始沿着上半部分的链走(i)步，然后经过(f_{i,j})，最后沿着下半部分的链走(j)步到达(T)，总边权就是(xi+yj+f_{i,j})。

在这个图中，有(d_{x,y} = minlimits_{a,b geq 0} xa + yb + f_{a,b})，松弛条件得(forall a , b geq 0 , d_{x,y} leq xa + yb + f_{a,b})，即(f_{a,b} geq d_{x,y} - xa - yb)。

这样可以对于每个(f_{a,b})得到(A imes B)个不等式，可得(f_{a,b})的解集。而(f_{a,b})一定需要取到其中的最小值（如果不取到最小值，可能存在(x,y)满足(minlimits_{a,b geq 0} xa + yb + f_{a,b} > d_{x,y})），所以可以得到(f_{a,b})的确切值。然后再代入(d_{x,y})的式子检验以下图是否合法即可。

时间复杂度(O(N^3))

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<cctype>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<bitset>
#include<vector>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<random>
//This code is written by Itst
using namespace std;

inline int read(){
    int a = 0;
    char c = getchar();
    bool f = 0;
    while(!isdigit(c) && c != EOF)
        c = getchar();
    if(c == EOF)
        exit(0);
    while(isdigit(c)){
    a = a * 10 + c - 48;
        c = getchar();
    }
    return f ? -a : a;
}

int d[12][12] , f[107][107];

signed main(){
    int A = read() , B = read();
    for(int i = 1 ; i <= A ; ++i)
    for(int j = 1 ; j <= B ; ++j)
        d[i][j] = read();
    for(int i = 0 ; i <= 100 ; ++i)
    for(int j = 0 ; j <= 100 ; ++j)
        for(int p = 1 ; p <= A ; ++p)
        for(int q = 1 ; q <= B ; ++q)
            f[i][j] = max(f[i][j] , d[p][q] - i * p - j * q);
    for(int i = 1 ; i <= A ; ++i)
    for(int j = 1 ; j <= B ; ++j){
        int minN = 1e9;
        for(int p = 0 ; p <= 100 ; ++p)
        for(int q = 0 ; q <= 100 ; ++q)
            minN = min(minN , f[p][q] + p * i + q * j);
        if(minN != d[i][j]){
        puts("Impossible");
        return 0;
        }
    }
    puts("Possible");
    puts("202 10401");
    for(int i = 1 ; i <= 100 ; ++i)
    printf("%d %d X
" , i , i + 1);
    for(int i = 102 ; i < 202 ; ++i)
    printf("%d %d Y
" , i , i + 1);
    for(int i = 0 ; i <= 100 ; ++i)
    for(int j = 0 ; j <= 100 ; ++j)
        printf("%d %d %d
" , 1 + i , 202 - j , f[i][j]);
    puts("1 202");
    return 0;
}