感觉这个题十分好玩于是诈尸更博。一年之前的做题心得只有这道题还记得清楚……
设输入为(n,m)时的答案为(f(n,m))，首先(f(n,m)=f(m,n))所以接下来默认(n leq m)。一件重要的事情是打表得到当(m>n+1)时(f(n,m) = f(n,m-1)*3)，证明不会。
所以最后的问题是快速得到(f(8,9))。(n,m)不大考虑搜索。
首先考虑一些没用的剪枝：
1、同一条对角线上填入的数字自底向上不增。这个不难反证得到。
2、如果存在((i,j))和((i+1,j-1))填入的数字相同，那么((i+1,j))与((n,m))构成的矩形中一条对角线上所有位置的值必须相同。也可以反证得到。
我们假设用了这些剪枝可以剪掉绝大部分状态，那么我们考虑如何check一个通过上述剪枝得到的答案是否合法。暴力的复杂度是(15 imes inom{15}{8})难以接受，我们考虑一些不同的思路。
对于两条路径(P,Q)，找到第一次分岔的位置，记做((x,y))，那么这两条路径中必定一条向右走、一条向下走。不失一般性地假设(P)向右走，那么(P)得到的二进制串必须比(Q)得到的二进制串小。而((x,y))是第一次分岔的位置，所以(P,Q)是否满足条件和((x+1,y))以及((x,y+1))作为起点的所有路径的串的(min)和(max)有关。如果能够得到从某个点开始到达终点的所有串的(min)和(max)，判断合法就迎刃而解了。
对于求以任意位置作为起点到达终点的串的(min)和(max)，考虑DP：设(f_{i,j,0/1})表示从((i,j))到((n,m))的所有串的字典序(min / max)，转移枚举下一步去到哪里。注意到DP的复杂度是(O(nm))的，相比之前有很大的提升。
这样有可能还是跑不进(2s)，但是注意到下面check合法则上面所有的剪枝都一定满足。如果可以最大化check方式在搜索中的剪枝效果，就可以更快速地搜出结果。
那么可以这样做：按照对角线倒着填数，每一次填入一个位置之后立即计算它的DP值，判断能够判断是否合法的位置，如果某些位置作为第一次分岔的位置已经不合法，则不往下搜。不难发现这样的搜索剪枝是包含了上面的剪枝1、2的，是一个更强的剪枝。这样你就可以在LOJ上以(200ms)的速度搜出(f(8,9))，问题就完成了。