一个 UOJ 博客的同步存档。
对字符串按 \(\sqrt{n}\) 分块，对于一组询问 \((l,r)\)，如果其长度小于 \(2\sqrt{n}\) 暴力，否则找到这一段覆盖到的第一个块端点 \(x\)，有 \(x-l \leq \sqrt{n}\)。先跑出 \([x,r]\) 的答案，这可以离线后对每个块端点跑一次 kmp，然后分开计算长度小于等于 \(x-l\) 和大于 \(x-l\) 的前缀 border 的贡献。
长度小于等于 \(x-l\) 的部分暴力枚举 border 长度 \(l_0\)，则需要计算的是 \([l+l_0,r]\) 上所有 \(s_{l \sim l+l_0-1}\) 的 endpos 的贡献和。放在 SAM 上这东西就是一个二维偏序，询问定位可以在 SAM 的 DAG 上跑所以是 \(O(1)\)，将所有询问离线下来扫描线，用 \(O(\sqrt{n})\) 修改 \(O(1)\) 询问的数据结构维护即可做到 \(O(m\sqrt{n})\)。因为空间限制比较紧不能直接存 \(O(m\sqrt{n})\) 个询问，所以需要一点小技巧将空间优化到线性，留给读者自行思考。
某个蠢人场上二维偏序写了 \(O(n \sqrt{n} \log n)\) 然后想了一万年怎么优化我不说是谁
长度大于 \(x-l\) 的 border 则可以利用 \((x,r)\) 的信息，这是因为如果 \((l,m)\) 有一个 border 长度为 \(l_1 > x-l\)，则 \((x,m)\) 一定对应有一个长度为 \(l_1-(x-l)\) 的 border。所以 \((l,r)\) 的长度大于 \(x-l\) 的 border 的贡献和一定是在 \((x,r)\) 答案的基础上减掉一些 \((x,r)\) 有但 \((l,r)\) 就没有的 border 的贡献。
具体地，考虑一个点 \(p \in [x+1,r]\)，则其在 \(s_{x \sim r}\) 中的贡献是 \(w_p+w_{p+1}+w_{p+2}+\cdots+w_{\min(r,p+\mathrm{lcp}(x,p) - 1)}\)，而这个贡献能够出现在 \((l,r)\) 中的充要条件是 \(\mathrm{lcs}(x-1,p-1) \geq x-l\)。所以将 \((x,r)\) 调到 \((l,r)\) 的贡献变化是 \(-\sum_{i=x+1}^r [\mathrm{lcs}(x-1,i-1) < x-l] sumw_{\min(r,i+\mathrm{lcp}(i,x)-1)} - sumw_{i-1}\)。
对于一个确定的 \(x\)，lcp 与 lcs 的其中一个参数是确定的，所以算 lcp 可以每次算一遍扩展 kmp，算 lcs 可以在 SAM 的 parent 树上打差分标记然后 dfs 做个路径和，都是 \(O(n \sqrt{n})\) 的。\(-\sum_{i=x+1}^r [\mathrm{lcs}(x-1,i-1) < x-l] sumw_{\min(r,i+\mathrm{lcp}(i,x)-1)} - sumw_{i-1}\) 这东西的计算又是一个二维偏序。按照 \(r\) 扫描线，以 \(\mathrm{lcs}(x-1,i-1)\) 作为下标存贡献就行，\(\min\) 里面的元素产生变化时进行一下调整。乍一看还是要带 \(\log\)，但是 \(x-l \leq \sqrt{n}\) 所以 \(\mathrm{lcs}(x-1,i-1)\) 可以跟 \(\sqrt{n}\) 取 \(\min\)，所以不用数据结构暴力维护长度为 \(\sqrt{n}\) 的数组然后每次暴力算前缀和就行。