[837. 新21点]

[837. 新21点]

爱丽丝参与一个大致基于纸牌游戏 “21点” 规则的游戏，描述如下：

爱丽丝以 0 分开始，并在她的得分少于 K 分时抽取数字。 抽取时，她从 [1, W] 的范围中随机获得一个整数作为分数进行累计，其中 W 是整数。 每次抽取都是独立的，其结果具有相同的概率。

当爱丽丝获得不少于 K 分时，她就停止抽取数字。 爱丽丝的分数不超过 N 的概率是多少？

示例 1**：**

输入：N = 10, K = 1, W = 10
输出：1.00000
说明：爱丽丝得到一张卡，然后停止。

示例 2**：**

输入：N = 6, K = 1, W = 10
输出：0.60000
说明：爱丽丝得到一张卡，然后停止。
在 W = 10 的 6 种可能下，她的得分不超过 N = 6 分。

示例 3**：**

输入：N = 21, K = 17, W = 10
输出：0.73278

提示：

1. 0 <= K <= N <= 10000
2. 1 <= W <= 10000
3. 如果答案与正确答案的误差不超过 10^-5，则该答案将被视为正确答案通过。
4. 此问题的判断限制时间已经减少。

思路：逆序DP+前缀和优化

设dp[x] 表示当前分数为x 时的胜率， 由于抽到每张牌的概率相同，当我们抽一张牌后，状态变为x+i的概率为
$$\frac{1}{W}$$
可以得到状态转移方程
$$dp[x]=\frac{1}{W}\ast \sum _{i=x+1}^{x+W}dp[i]$$
所以初始化dp[K]~dp[N] = 1 , dp[N]~dp[K+W] = 0

注意有时K+W可能小于N

public double new21Game(int N, int K, int W) {
        if(K == 0) {
            return 1.0;
        }

        double[] res = new double[N+W+1];

        double sum = (double)(N-K+1);

        for (int i = K; i <= N; i++) {
            res[i] = 1.0;
        }

        for(int i = K-1; i >= 0; i--){
            res[i] = sum/(double)W;
            sum -= res[i+W];
            sum += res[i];
        }

        return res[0];

    }