线段树

用处

使用线段树可以快速的查找某一个节点在若干条线段中出现的次数；

时间复杂度为O(logN）。而未优化的空间复杂度为2N，因此有时需要离散化让空间压缩。

结构

线段树是建立在线段的基础上，每个结点都代表了一条线段[a,b]。

长度为1的线段称为元线段。

非元线段都有两个子结点，左结点代表的线段为[a,(a + b) / 2]，右结点代表的线段为[((a + b) / 2）+1,b]。

长度范围为[1,L] 的一棵线段树的深度为log (L) + 1。

这个显然，而且存储一棵线段树的空间复杂度为O(L）。

线段树支持最基本的操作为插入和删除一条线段。

下面以插入为例，详细叙述，删除类似。

将一条线段[a,b] 插入到代表线段[l,r]的结点p中，如果p不是元线段，那么令mid=（l+r）/2。

如果b<mid，那么将线段[a,b] 也插入到p的左儿子结点中，如果a>mid，那么将线段[a,b] 也插入到p的右儿子结点中。

插入（删除）操作的时间复杂度为O（logn）。

操作

单点查询；

单点修改；

区间求和；

区间修改；

区间操作可以用lazy优化时间复杂度。

变种

zkw线段树

怎么说呢，zkw线段树是一种简洁优美快速的非递归版线段树。

(因为我感觉zkw线段树完全可以取代普通线段树，所以就详细些。)

线段树的堆形构造：

线段树的堆式储存

我们来转成二进制看看

小学生问题:找规律

规律是很显然的

• 一个节点的父节点是这个数左移1，这个位运算就是低位舍弃，所有数字左移一位
• 一个节点的子节点是这个数右移1，是左节点，右移1+1是右节点
• 同一层的节点是依次递增的，第n层有2^(n-1)个节点
• 最后一层有多少节点，值域就是多少(这个很重要)

区间最小值

建叶节点

　　for(m=1;m<=n+1;m<<=1);
　　for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",t+m+i);

建非叶节点

void build_min(){for(int i=m-1;i>0;i--) t[i]=min_(t[i<<1],t[i<<1|1]);}

查找区间最小值

int search_min(int l,int r,int ret){
    for(l+=m,r+=m;r-l!=1;l>>=1,r>>=1){
        if(~l&1) ret=min_(ret,t[l^1]);
        if(r&1) ret=min_(ret,t[r^1]);
    }
    return ret;
}

成功解决区间最小值问题；

标记问题

标记永久化；

永久化的标记就是值；

——zkw

同样的区间改值；

同样的标记位置；

不用下传！

由底向上；

遇到标记按规则变动；

例题

Sliding Window（滑动窗口）

致敬：http://blog.csdn.NET/qq_18455665/article/details/50989113 (gdl,so http://blog.csdn.net/keshuqi/article/details/52205884)

可持久化线段树

例题

线段树练习 3&P3372 【模板】线段树 1

【模板】线段树 2