LOJ#6358. 前夕

Description

为了抵御以尼古拉奥尔丁为首的上古龙族的入侵，地球的守护者 Yopilla 集齐了$n$种人类文明的本源力量 —— 世界之力。

Yopilla 打算使用若干种技能来对抗尼古拉奥尔丁的进攻。每种技能由若干种世界之力构成。换句话说，一共有$2^n$种技能，Yopilla 要使用若干种技能来对抗尼古拉奥尔丁。

大战前夕，Yopilla 走在波士顿的街头，突然看见天空中飞过了$4$只白鸽，他便洞察了战胜尼古拉奥尔丁的秘密：只要他使用的技能中，都含有的世界之力的种类数恰好为$4$的倍数，他便可以打败敌人。

Yopilla 想知道，他有多少种使用技能的情况，能战胜敌人。请你替 Yopilla 回答这个问题，答案对$998244353$取模即可。

Solution

设$f(k)$表示交集中至少有$k$个元素的方案数，$g(k)$表示交集恰好有$k$个元素的方案数，那么：

$$f(k)=inom{n}{k}(2^{2^{n-k}}-1)$$

$$f(k)=sum _{i=k}^n inom{i}{k} g(i)$$

设$g(x)$对答案的贡献次数：

$$sum_{i=0}^x inom{x}{i} alpha(i)=[4|x]$$

egin{align}
alpha(i)& = sum_{i = 0}^x inom{x}{i} [4|x](-1)^{x-i}\
& = sum_{i = 0}^x inom{x}{i} (-1)^{x-i}frac 14 sum _{j=0}^3 omega_4^{ij}\
& = frac 14 sum_{i=0}^n sum _{j=0}^3 inom{x}{i} (-1)^{x-i}omega_4^{ji}\
& = frac 14 sum _{i=0}^3 (omega_4^j-1)^n
end{align}

干就完事了

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int n,fac[10000005],inv[10000005],w[10000005],f[10000005],a[10000005],ans;
const int mod=998244353,inv4=748683265;
inline int read(){
    int f=1,w=0;
    char ch=0;
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9')w=(w<<1)+(w<<3)+ch-'0',ch=getchar();
    return f*w;
}
int ksm(long long a,int p){
    long long ret=1;
    while(p){
        if(p&1)(ret*=a)%=mod;
        (a*=a)%=mod,p>>=1;
    }
    return ret;
}
inline int C(int x,int y){return 1ll*fac[x]*inv[y]%mod*inv[x-y]%mod;}
int main(){
    fac[0]=w[0]=1,w[1]=ksm(3,(mod-1)/4),w[2]=1ll*w[1]*w[1]%mod,w[3]=1ll*w[2]*w[1]%mod;
    for(int i=1;i<=10000000;i++)fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
    inv[10000000]=ksm(fac[10000000],mod-2);
    for(int i=9999999;~i;i--)inv[i]=1ll*inv[i+1]*(i+1)%mod;
    n=read(),f[n]=2;
    for(int i=n-1;~i;i--)f[i]=1ll*f[i+1]*f[i+1]%mod;
    for(int i=0;i<=n;i++)f[i]=1ll*(f[i]-1+mod)%mod*C(n,i)%mod;
    for(int i=0;i<4;i++){
        int temp=1;
        for(int j=0;j<=n;j++)(a[j]+=temp)%=mod,(temp=1ll*temp*(w[i]-1+mod)%mod)%=mod;
    }
    for(int i=0;i<=n;i++)(ans+=1ll*a[i]*inv4%mod*f[i]%mod)%=mod;
    printf("%lld
",(ans+1)%mod);
    return 0;
}