LG P6541 [WC2018]即时战略

Description

小 M 在玩一个即时战略 (Real Time Strategy) 游戏。不同于大多数同类游戏，这个游戏的地图是树形的。也就是说，地图可以用一个由 $n$ 个结点，$n - 1$ 条边构成的连通图来表示。这些结点被编号为 $1 sim n$。

每个结点有两种可能的状态：「已知的」或「未知的」。游戏开始时，只有 $1$ 号结点是已知的。
在游戏的过程中，小 M 可以尝试探索更多的结点。具体来说，小 M 每次操作时需要选择一个已知的结点 $x$，和一个不同于 $x$ 的任意结点 $y$（结点 $y$ 可以是未知的）。然后游戏的自动寻路系统会给出 $x$ 到 $y$ 的最短路径上的第二个结点 $z$，也就是从 $x$ 走到 $y$ 的最短路径上与 $x$ 相邻的结点。此时，如果结点 $z$ 是未知的，小 M 会将它标记为已知的。

这个游戏的目标是：利用至多 $T$ 次探索操作，让所有结点的状态都成为已知的。然而小 M 还是这个游戏的新手，她希望得到你的帮助。

为了让游戏过程更加容易，小 M 给你提供了这个游戏的交互库，具体见「任务描述」和「实现细节」。
另外，小 M 也提供了一些游戏的提示，具体见题目的最后一节「提示」。

Solution

做法一：

用LCT维护已经探索过的点，维护每一个点的前驱和后继，随机选择扩展某个点，假设$t= ext{explore}( ext{rand()}, ext{now})$，其中now初始时是LCT的根

会有以下几种情况：1.$t$是now的前驱或后继，这个时候可以选择跳到Splay的左儿子或右儿子，相当于在Splay上做二分；2.$t$在其他Splay上，此时直接跳跃至该Splay的根；3.$t$从未被探索过，此时直接将其加入LCT

不断重复以上过程直至探索到该随机值

复杂度是$O(n log n)$的，因为以上过程实际上是LCT中access操作的逆序

做法二：

用点分树维护已经探索过的点，仍然随机扩展某个点，每求出一个$t$就在点分树上不断向上跳父节点直至知道其在当前now的什么方向，最终到叶子时会有新点加入点分树，此时直接加入，当点分树不平衡到一定程度时重构，类似替罪羊树

时间复杂度$O(n log^2n)$

//#include"rts.h"
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
using namespace std;
int p[300005],L[300005],R[300005],ch[300005][2],fa[300005],pos[2]={1,1};
bool vst[300005];
int explore(int ,int);
bool nroot(int x){return ch[fa[x]][0]==x||ch[fa[x]][1]==x;}
int getson(int x){return ch[fa[x]][1]==x;}
void pushup(int x){
    L[x]=R[x]=x;
    if(ch[x][0])L[x]=L[ch[x][0]];
    if(ch[x][1])R[x]=R[ch[x][1]];
}
void rotate(int x){
    int y=fa[x],z=fa[y],b=getson(x),c=getson(y),a=ch[x][!b];
    if(nroot(y))ch[z][c]=x;
    fa[x]=z,ch[x][!b]=y,fa[y]=x,ch[y][b]=a;
    if(a)fa[a]=y;
    pushup(y),pushup(x);
}
void splay(int x){
    while(nroot(x)){
        int y=fa[x];
        if(nroot(y))
            if(getson(y)==getson(x))rotate(y);
            else rotate(x);
        rotate(x);
    }
}
void access(int x){for(int y=0;x;x=fa[y=x])splay(x),ch[x][1]=y,pushup(x);}
void link(int x,int y){fa[y]=x,pushup(x);}
int find(int x){
    while(nroot(x))x=fa[x];
    return x;
}
void play(int n,int T,int dataType){
    for(int i=1;i<n;i++)p[i]=i+1;
    random_shuffle(p+1,p+n);
    if(dataType==3){
        for(int i=1;i<n;i++){
            int now=p[i],d=rand()&1;
            if(vst[now])continue;
            int t=explore(pos[d],now);
            if(vst[t])t=explore(pos[d^=1],now);
            while(t!=now)vst[t]=true,t=explore(t,now);
            vst[pos[d]=now]=true;
        }
    }
    else{
        for(int i=1;i<=n;i++)L[i]=R[i]=i;
        for(int i=1;i<n;i++){
            int now=p[i];
            if(vst[now])continue;
            int x=find(1);
            while(x!=now){
                int t=explore(x,now);
                if(t==R[ch[x][0]])x=ch[x][0];
                else if(t==L[ch[x][1]])x=ch[x][1];
                else if(!vst[t]){
                    while(t!=now)link(x,t),x=t,vst[x]=true,t=explore(x,now);
                    link(x,t),vst[t]=true,x=t;
                }
                else x=find(t);
            }
            access(x);
        }
    }
}
/*
g++ grader.cpp my.cpp -o rts -O2
*/