线性基 (Linear Basis)

太久没怎么写线性基了，最近多校特别多线性基的题，所以写篇博客权当复习。

内容主要参考Menci关于线性基博客，menci tql

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 线性基是用于解决子集异或一类题目的算法。

一些定义

• 异或和：设S为整数集，S的异或和为S中所有元素异或所得的结果。
• 张成：设T为S一子集，所有S的子集T的异或和组成的集合称为集合S的张成，记作span(S)。
• 线性相关：对于一个集合S，若存在S的某个元素S_i，使得S去除这个元素后得到的集合S'的张成span(S')中包含S_i，则称集合S线性相关；或者说，存在这样的元素S_i，可以用其他若干个元素异或得到。不满足线性相关的集合成为线性无关的。
• 线性基：若集合B满足：1、S是B的张成的子集； 2、B是线性无关的。则称集合B为集合S的线性基。集合B中元素的个数称为线性基的长度。

线性基的基本性质

• B是极小的满足线性基性质的集合，它的任何真子集都不可能是线性基。
• S中的任意元素都可以唯一表示为B中若干个元素异或起来的结果。

线性基的构造方法

不妨设集合S中最大的数的二进制表示有L位，用一个数组a[0..L]来存储线性基。这种线性基的构造方法保证了一个特殊性质，对于每一个i，a_i有以下两种可能：

1. a_i=0，且只有满足j>i的a_j(即位于a_i后面的所有a_j)的第i个二进制位可能为1。
2. a_i≠0，且：整个a数组中只有a_i的第i个二进制位为1；a_i更高的二进制位一定为0；a_i更低的二进制位可能为1。

我们称第i位存在于线性基中，当且仅当a_i≠0。

线性基是动态构造的，只需从空的a开始，每次考虑在一个已存在的线性基中插入一个数t即可。

从t最高位上的1开始考虑，设这是第i位。如果这一位已经存在于线性基中，则我们需要将t中的这一位消掉才可以继续插入(因为只有a_i的第i位可以为1)。如果这意味不存在于线性基中，则可以将t插入到a_i的位置上，但插入时需要保证：

1. t中比第i位更高的已经存在于线性基中的二进制位必须是0，而这时候t的最高位上的1一定是第i位。
2. t中比第i位更低的已经存在于线性基中的二进制位必须是0，对于这一点，我们可以枚举t中为1的这些二进制位k对应的元素a_k，并用类似上面的方式将t异或a_k以消掉这些位上的1。
3. a中必须只有a_i的第i位为1，对于这一点，我们可以枚举a_i后面的元素a_k(i<k<=L)，将每个第i位为1的a_k异或上t。

插入过程

逆序枚举t的所有为1的二进制位i，对于每个i：

• 如果a_i≠0，则令t=t^a_i
• 如果a_i=0，则：
  • 枚举k(0<=k<i)，如果t的第k位为1，则令t=t^a_k
  • 枚举k(j<k<=L)，如果a_k的第j位为1，则令a_k=a_k^t。
  • 令a_i=t，插入过程结束。

线性基的合并

两个集合的线性基可以在O(log²t)的时间内进行合并，合并后得到的线性基为两个集合的并的线性基。合并时只需将一个线性基中的所有元素插入到另一个线性基中即可。

线性基的应用

最基本的应用就是解决子集最大异或和问题。

问题：给定一个集合S，求其一子集T，使得T异或和最大，求该异或和。

solution：首先求出S的线性基B，问题转化为选择B的一个子集。从高到低考虑在线性基中的二进制位i，若第i位存在于线性基中，则考虑到线性基中只有唯一一个元素的第i位为1，所以之前加入到T中的元素的异或和的第i位一定为0，故把这个元素加入到T中一定会使得答案更大。故求出线性基中所有元素的异或和，即为答案。

模板：

一、不显式构造出集合B，支持动态插入。

struct LinearBasis
{
    long long a[MAXL + 1];

    LinearBasis()
    {
        std::fill(a, a + MAXL + 1, 0);
    }

    LinearBasis(long long *x, int n)
    {
        build(x, n);
    }

    void insert(long long t)
    {
        for (int j = MAXL; j >= 0; j--)
        {
            if (!t) return;
            if (!(t & (1ll << j))) continue;

            if (a[j]) t ^= a[j];
            else
            {
                for (int k = 0; k < j; k++) if (t & (1ll << k)) t ^= a[k];
                for (int k = j + 1; k <= MAXL; k++) if (a[k] & (1ll << j)) a[k] ^= t;
                a[j] = t;
                break;
            }
        }
    }

    // 数组 x 表示集合 S，下标范围 [1...n]
    void build(long long *x, int n)
    {
        std::fill(a, a + MAXL + 1, 0);

        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            insert(x[i]);
        }
    }

    long long queryMax()
    {
        long long res = 0;
        for (int i = 0; i <= MAXL; i++) res ^= a[i];
        return res;
    }

    void mergeFrom(const LinearBasis &other)
    {
        for (int i = 0; i <= MAXL; i++) insert(other.a[i]);
    }

    static LinearBasis merge(const LinearBasis &a, const LinearBasis &b)
    {
        LinearBasis res = a;
        for (int i = 0; i <= MAXL; i++) res.insert(b.a[i]);
        return res;
    }
};

二、显式构造出集合B，不支持动态插入。

struct LinearBasis
{
    std::vector<long long> v;
    int n; // 原有集合 S 的大小

    // 数组 x 表示集合 S，下标范围 [1...n]
    void build(long long *x, int n)
    {
        this->n = n;
        std::vector<long long> a(MAXL + 1);

        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            long long t = x[i];

            for (int j = MAXL; j >= 0; j--)
            {
                if ((t & (1ll << j)) == 0) continue;

                if (a[j]) t ^= a[j];
                else
                {
                    for (int k = 0; k < j; k++) if (t & (1ll << k)) t ^= a[k];
                    for (int k = j + 1; k <= MAXL; k++) if (a[k] & (1ll << j)) a[k] ^= t;

                    a[j] = t;
                    break;
                }
            }
        }

        v.clear();
        for (int i = 0; i <= MAXL; i++) if (a[i]) v.push_back(a[i]);
    }

    long long queryMax()
    {
        long long x = 0;
        for (size_t i = 0; i < v.size(); i++) x ^= v[i];
        return x;
    }
};

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