【hdu3037】Saving Beans——组合数取模

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题目的大意是求在n棵树上采摘不超过m颗豆子的方案数，要求答案对给定的p取模，同时保证p为质数。

奉上大神关于这道题的公式的推导及变形：戳这里

最后就是求C（n+m,m）%p啦~

这里因为p<=1e5，而n和m又很大，所以应该要用到Lucas定理：

Lucas(n,m,p)=C（n%p,m%p)*Lucas（n/p,m/p,p），证明有兴趣的自行百度。

注意要预处理阶乘才不会TLE，因为p是要求读入的所以每组数据都要预处理一次。

由费马小定理可知b关于p(要求p是质数)的逆元是b^(p-2)，所以这里还要写一个快速幂取模求逆元。

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
typedef long long LL;
using namespace std;
LL n,m,p;
LL jie[100005];
LL read()
{
    LL ans=0,f=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){ans=ans*10+c-48;c=getchar();}
    return ans*f;
} 
LL kuai(LL a,LL b)
{
    LL res=1;
    while(b){
        if(b&1)res=res*a%p;
        a=(a*a)%p;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
LL C(LL x,LL y)
{
    if(x<y)return 0;
    LL ans;
    ans=jie[x]*kuai(jie[y],p-2)%p*kuai(jie[x-y],p-2)%p;
    return ans;
}
LL lucas(LL x,LL y)
{
    LL ans=1;
    while(x&&y&&ans){
        if(x%p<y%p)return 0;
        ans=(ans*C(x%p,y%p))%p;
        x/=p;
        y/=p;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    LL t;
    t=read();
    while(t--){
        n=read();m=read();p=read();
        jie[0]=jie[1]=1;
        for(int i=2;i<=p;i++)jie[i]=jie[i-1]*i%p;
        printf("%lld
",lucas(n+m,m));
    }
    return 0;
}