【bzoj1706/usaco2007 Nov】relays 奶牛接力跑——矩阵快速幂/倍增floyd

Description

FJ的N(2 <= N <= 1,000,000)头奶牛选择了接力跑作为她们的日常锻炼项目。至于进行接力跑的地点自然是在牧场中现有的T(2 <= T <= 100)条跑道上。农场上的跑道有一些交汇点，每条跑道都连结了两个不同的交汇点 I1_i和I2_i(1 <= I1_i <= 1,000; 1 <= I2_i <= 1,000)。每个交汇点都是至少两条跑道的端点。奶牛们知道每条跑道的长度length_i(1 <= length_i <= 1,000)，以及每条跑道连结的交汇点的编号并且，没有哪两个交汇点由两条不同的跑道直接相连。你可以认为这些交汇点和跑道构成了一张图。为了完成一场接力跑，所有N头奶牛在跑步开始之前都要站在某个交汇点上（有些交汇点上可能站着不只1头奶牛）。当然，她们的站位要保证她们能够将接力棒顺次传递，并且最后持棒的奶牛要停在预设的终点。你的任务是，写一个程序，计算在接力跑的起点(S)和终点(E)确定的情况下，奶牛们跑步路径可能的最小总长度。显然，这条路径必须恰好经过N条跑道。

Input

* 第1行: 4个用空格隔开的整数：N，T，S，以及E

* 第2..T+1行: 第i+1为3个以空格隔开的整数：length_i，I1_i，以及I2_i，描述了第i条跑道。

Output

* 第1行: 输出1个正整数，表示起点为S、终点为E，并且恰好经过N条跑道的路径的最小长度

Sample Input

2 6 6 4
11 4 6
4 4 8
8 4 9
6 6 8
2 6 9
3 8 9

Sample Output

显然要求的就是起点走n步之后到终点的最短路，初始矩阵表示类似邻接矩阵（唯一不同就是矩阵里对角线应该是inf而不是0-->无自环）

这样答案就是矩阵的n次幂。

把矩阵的乘法定义为f[i][j]=min(f[i][k]+f[k][j])（这不就是floyd?）-->满足结合律

最后答案就是n次方矩阵里f[s][t]-->当然是离散后的值

ps.因为我们最后只要起点s那一行的答案，因此在快速幂的时候矩阵乘法可以有一个小小的优化：

　　最终矩阵每次更新都只更新s那一行，而原矩阵倍增时仍需要n³的转移时间。

代码：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 #define mem(a,p) memset(a,p,sizeof(a))
 5 const int N=205,inf=0x3f3f3f3f;
 6 struct node{int h[N][N];}mp,res;
 7 int n,t,s,e,id[N],cnt=0;
 8 int min(int a,int b){return a>b?b:a;}
 9 int read(){
10     int ans=0,f=1;char c=getchar();
11     while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
12     while(c>='0'&&c<='9'){ans=ans*10+c-48;c=getchar();}
13     return ans*f;
14 }
15 node mul(node a,node b){
16     node tem;
17     for(int i=1;i<=cnt;i++)
18         for(int j=1;j<=cnt;j++)tem.h[i][j]=inf;
19     for(int k=1;k<=cnt;k++)
20         for(int i=1;i<=cnt;i++)
21             for(int j=1;j<=cnt;j++)
22             tem.h[i][j]=min(tem.h[i][j],a.h[i][k]+b.h[k][j]);
23     return tem;
24 }
25 node mul1(node a,node b){
26     node tem;
27     for(int i=1;i<=cnt;i++)
28         for(int j=1;j<=cnt;j++)tem.h[i][j]=inf;
29     for(int k=1;k<=cnt;k++)
30             for(int j=1;j<=cnt;j++)
31             tem.h[id[s]][j]=min(tem.h[id[s]][j],a.h[id[s]][k]+b.h[k][j]);
32     return tem;
33 }
34 int ksm(){
35     while(n){
36         if(n&1)res=mul1(res,mp);//不想卡常的话可以直接写成mul
37         mp=mul(mp,mp);
38         n>>=1;
39     }
40     return res.h[id[s]][id[e]];
41 }
42 int main(){
43     n=read();t=read();s=read();e=read();
44     for(int i=1,a,b,c;i<=t;i++){
45         c=read();a=read();b=read();
46         if(!id[a])id[a]=++cnt;
47         if(!id[b])id[b]=++cnt;
48         int x=id[a],y=id[b];
49         mp.h[x][y]=mp.h[y][x]=c;
50     }
51     for(int i=1;i<=cnt;i++)
52         for(int j=1;j<=cnt;j++){
53             if(!mp.h[i][j])mp.h[i][j]=inf;
54             res.h[i][j]=i==j?0:inf;
55         }
56     printf("%d
",ksm());
57     return 0;
58 }

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