【51nod 1189】阶乘分数——阶乘质因数分解

先对原式子进行一个变形：

1/n!=1/x+1/y=(x+y)/xy--->n!*(x+y)=xy

xy-(x+y)*n!=0--->xy-(x+y)*n!+n!²=n!²--->(x-n!)*(y-n!)=n!²

那么如果我们能够求出n!²的约数个数，对于每个约数加上n!即可作为x或y。

若n!=a1^p1+a2^p2+...+ak^pk，则n!的约数总数为∏(pi+1)。

因为是n!²，所以每个pi要乘上2.

因为对于每个约数a，都必将有唯一的一个b与它对应使得a*b=n!，所以如果不考虑x和y的大小和重复关系的话答案就是约数个数。

但是这里加上了限制条件，因此要除掉重复的部分，即需将答案加1除以2向下取整（加一是为了防止将完全平方数的平方根除去）

对于n!的质因数分解，则应该先把n以内的质数筛出，求出每个质数的阶数即可。

例：对10!分解质因数

10以内的质数有2，3，5，7.

2：10/2=5，10/4=2，10/8=1,阶数为2+5+1=8；

3：10/3=3，10/9=1，阶数为3+1=4；

5：10/5=2，阶数为2；

7：10/7=1，阶数为1；

所以10!=2⁸*3⁴*5²*7.

代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
typedef long long LL;
const LL mod=1e9+7;
const int N=1e6+10;
int n,prime[N],cnt=0;
bool vis[N];
void make_prime(){
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!vis[i])prime[++cnt]=i;
        for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++){
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)break;
        }
    }
}
LL ans=1,ni=(mod+1)/2;
int main(){
    scanf("%d",&n);
    make_prime();
    for(int i=1;i<=cnt;i++){
        LL p1=0;
        for(LL j=prime[i];j<=n;j*=prime[i])p1+=n/j;
        ans=(ans*(2*p1+1)%mod)%mod;
    }
    printf("%lld",(ans+1ll)*ni%mod);
    return 0;
}