各位数字之和——一个神奇的结论

今天下午翻了翻XX大学的ACM模版，作为新手，当然挑能看懂的来看，结果就看到了这样一个简单的问题：

题目是这样的，输入一个正整数，将它的各位数字加起来，如果得到的不是一位数，将这个和的各位数字再加起来，如此循环，直到得到一个一位数，最后输出这个个位数。

最简单的方法是使用递归模拟上述求和过程，直到和小于10：

# include <stdio.h>

int dig_sum(int x)
{
    int sum = x;
    if (x < 10) return sum;
    else
    {
        sum = 0;
        while (x > 0)
        {
            sum += x%10;
            x /= 10;
        }
        return dig_sum(sum);
    }
}

int main()
{
    int x;

    while (~scanf("%d", &x))
        printf("%d\n", dig_sum(x));


    return 0;
}

递归方法思路很清晰，但是递归往往很耗时，将递归用循环代替，就变成了下面的：

# include <stdio.h>
int main()
{
    int x, sum;

    while (~scanf("%d", &x))
    {
        sum = x;
        while (sum > 9)
        {
            sum = 0;
            while (x > 0)
            {
                sum += x%10;
                x /= 10;
            }
            x = sum;
        }
        printf("%d\n", sum);
    }

    return 0;
}

但是，问题来了：这样的问题有没有更好的方法，来更快速地得出结果呢？

题目本身给出了两种方法的代码，第一种是上面的递归，第二种则是下面的：

int dig(int x) {return (x+8)%9+1;}

在这段代码的上面还有一句话：【不太明白。。。】
看到这句话和这个只有一句代码的方法，让我开始思考。

一个十进制的正整数可以表示为：

　　　　　　　　　　　　　　         也可以写作：

　　　　　　　　　　　　　     而，

　　　　　　　　　       所以

　　　　　　　　      所以

　　　　　　 如果令

　　　　　　　　　　　　　 ， 　　　　  那么，

　　　　　　　　　　　　  

到这里，就可以发现，如果 x 按照题目要求的最终得到了 数字 c （0<c<10，c 一定不为 0），那么

　　　　　　　　　　　　

到这里，得到了标题中“神奇的结论”：x 和 c 模 9 同余！而 c 是1~9中的一个数字，所以不难通过 x%9 求得c：

　　如果 c<9，那么 c=x%9；

　　如果c=9，那么x%9=0。

为了方便，调整一下，写成一句代码，即：c = (x+8)%9+1;

到这里，终于明白了第二种方法是怎么回事了。

当时在上课，瞥见了这道题，本来想用手机搜搜，结果手机欠费了。。。看来以后遇到问题要多锻炼思考。