[SDOI2015] 序列统计

小C有一个集合S，里面的元素都是小于M的非负整数。他用程序编写了一个数列生成器，可以生成一个长度为N的数列，数列中的每个数都属于集合S。

小C用这个生成器生成了许多这样的数列。但是小C有一个问题需要你的帮助：给定整数x，求所有可以生成出的，且满足数列中所有数的乘积mod M的值等于x的不同的数列的有多少个。小C认为，两个数列{Ai}和{Bi}不同，当且仅当至少存在一个整数i，满足Ai≠Bi。另外，小C认为这个问题的答案可能很大，因此他只需要你帮助他求出答案mod 1004535809的值就可以了。

一行，四个整数，N、M、x、|S|，其中|S|为集合S中元素个数。第二行，|S|个整数，表示集合S中的所有元素。

一行，一个整数，表示你求出的种类数mod 1004535809的值。

4 3 1 2
1 2

8

【样例说明】

可以生成的满足要求的不同的数列有(1,1,1,1)、(1,1,2,2)、(1,2,1,2)、(1,2,2,1)、(2,1,1,2)、(2,1,2,1)、(2,2,1,1)、(2,2,2,2)。

【数据规模和约定】

对于10%的数据，1<=N<=1000；

对于30%的数据，3<=M<=100；

对于60%的数据，3<=M<=800；

对于全部的数据，1<=N<=109，3<=M<=8000，M为质数，1<=x<=M-1，输入数据保证集合S中元素不重复

Round 1 感谢yts1999上传

先随便找出M的一个原根（原根很多，对于一个模数M原根大致有phi(phi(M))个），然后把S集合中的数都转化成指标。

(顺便科普一下如何判断一个数是不是原根，因为原根要遍历1-M-1的同余系下的所有元素，所以原根在M-1次方之前

是不能等于1的。然而不用一个次方一个判断，直接判断在M-1的约数除是否有1就行了(其实还可以更优化，即只判断/某个质因子之后的约数

就行了，但是这个方法本题已经够用了))

这样之后mod M同余系下两个数相乘就相当于它们的指标相加。

你问我这个有什么用？？

转化成加法之后就可以卷积了啊，不转化的话只能Ｏ(Ｎ^２)算。

然后这里有一个超级超级超级超级超级超级大的大坑是集合Ｓ中的元素是非负整数！！！

不是正整数是非负整数！！！

如果有一个元素是０的话那它是没有意义的(0没有指标啊，然而一开始没有特判让idx==0的强行加了1hhhh)

转化之后构造一个关于指标的元多项式，它的N次方的idx[x]次项的系数就是答案。

可以用求快速幂类似的方法倍增求解，不过每一次乘完了之后要维护一下次数>=M-1的(因为指标的值都是<=M-2的)，

把它们的值加到 mod(M-1)同余系下的<M-1的次数项上 (如果你问为什么不是 mod M同余系下那么我建议你去学一下欧拉定理)

然后几乎就是个NTT的板了。

/**************************************************************
    Problem: 3992
    User: JYYHH
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:4656 ms
    Memory:2116 kb
****************************************************************/
 
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define mod 1004535809
#define maxn 30005
using namespace std;
const int pi=3,ni=mod/pi+1;
int di[maxn],tot,N,M,X,num,inv;
int a[maxn],p,b[maxn],ind[maxn];
int r[maxn],e[maxn],l,n,ans[maxn];
inline int add(int x,int y,const int ha){
    x+=y;
    if(x>=ha) x-=ha;
    return x;
}
 
inline int dec(int x,int y,const int ha){
    x-=y;
    if(x<0) x+=ha;
    return x;
}
 
inline int mul(int x,int y,const int ha){
    return (ll)x*y%ha;
}
 
inline int ksm(int x,int y,int ha){
    int an=1;
    for(;y;y>>=1,x=(ll)x*x%ha) if(y&1) an=(ll)an*x%ha;
    return an;
}
 
inline bool can(int x){
    for(int i=1;i<=tot;i++) if(ksm(x,di[i],M)==1) return 0;
    return 1;
}
 
inline void get(){
    for(int i=2;i<M;i++) if(can(i)){
        p=i;
        break;
    }
}
 
inline void prework(){
    ind[1]=0;
    for(int i=1,j=p;j!=1;i++,j=(ll)j*p%M){
        ind[j]=i;
    }
}
 
inline void NTT(int *c,int f){
    for(int i=0;i<n;i++) if(i<r[i]) swap(c[i],c[r[i]]);
    for(int i=1;i<n;i<<=1){
        int omega=(f==1?ksm(pi,(mod-1)/(i<<1),mod):ksm(ni,(mod-1)/(i<<1),mod));
        for(int j=0,q=i<<1;j<n;j+=q){
            int now=1;
            for(int k=0;k<i;k++,now=mul(now,omega,mod)){
                int x=c[k+j],y=mul(now,c[k+j+i],mod);
                c[k+j]=add(x,y,mod);
                c[k+j+i]=dec(x,y,mod);
            }
        }
    }
     
    if(f!=1) for(int i=0;i<n;i++) c[i]=mul(c[i],inv,mod);
}
 
inline void calc(int *x,int *y){
    NTT(x,1),NTT(y,1);
    for(int i=0;i<n;i++) x[i]=mul(x[i],y[i],mod);
    NTT(x,-1);
     
    int D=M-1,to;
    for(int i=0;i<D;i++){
        to=i+D;
        x[i]=add(x[i],x[to],mod);
    }
    for(int i=D;i<n;i++) x[i]=0;
}
 
inline void solve(){
    for(n=1,l=0;n<=((M-2)<<1);n<<=1) l++;
    for(int i=0;i<n;i++) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
    inv=ksm(n,mod-2,mod);
    ans[0]=1;
     
    while(N){
        if(N&1){
            for(int i=0;i<n;i++) e[i]=b[i];
            calc(ans,e);
        }
        for(int i=0;i<n;i++) e[i]=b[i];
        calc(b,e);
        N>>=1;
    }
}
 
int main(){
    scanf("%d%d%d%d",&N,&M,&X,&num);
    M--;
    for(int i=2;i*i<=M;i++) if(!(M%i)){
        di[++tot]=i;
        if(i*i!=M) di[++tot]=M/i;
    }
    M++;
    for(int i=1;i<=num;i++) scanf("%d",a+i);
     
    get();
    prework();
    for(int i=1;i<=num;i++) if(a[i]) b[ind[a[i]]]=1;
     
    solve();
    printf("%d
",ans[ind[X]]);
    return 0;
}

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3992: [SDOI2015]序列统计

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