洛谷 P2742 [USACO5.1]圈奶牛Fencing the Cows

题目描述

农夫约翰想要建造一个围栏用来围住他的奶牛，可是他资金匮乏。他建造的围栏必须包括他的奶牛喜欢吃草的所有地点。对于给出的这些地点的坐标，计算最短的能够围住这些点的围栏的长度。

输入输出格式

输入格式：

输入数据的第一行包括一个整数 N。N（0 <= N <= 10,000）表示农夫约翰想要围住的放牧点的数目。接下来 N 行，每行由两个实数组成，Xi 和 Yi,对应平面上的放牧点坐标（-1,000,000 <= Xi,Yi <= 1,000,000）。数字用小数表示。

输出格式：

输出必须包括一个实数，表示必须的围栏的长度。答案保留两位小数。

输入输出样例

输入样例#1： 

4
4 8
4 12
5 9.3
7 8

输出样例#1： 

12.00

说明

题目翻译来自NOCOW。

USACO Training Section 5.1

题目求的就是凸包的周长，求出凸包以后算一遍就行了。

(下面是我打了一半的二维几何的板子)

/*
这里用来存坑：
   1.利用叉积求和三角形面积有关的别忘了除二
   2.还差旋转卡壳和半平面交
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<ctime>
#define ll long long
#define maxn 10005
using namespace std;
const double eps=0.000000001;
bool flag=0;

inline int zt(double x){
    if(fabs(x)<=eps) return 0;
    if(x>0) return 1;
    return -1;
}

struct node{
    double x,y;
    //极角 
    double omega;
    //数乘 
    node operator *(const double& u)const{
        return (node){x*u,y*u};
    }
    //点+向量 or 向量+向量 (点+点没有意义) 
    node operator +(const node& a)const{
        return (node){x+a.x,y+a.y};
    }
    //点-点得到向量 
    node operator -(const node& a)const{
        return (node){x-a.x,y-a.y};
    } 
    //为了按极角排序 
    bool operator <(const node& a)const{
        return zt(omega-a.omega)==-1;
    }
}c[maxn],q[maxn],ret[maxn];
//按x第一关键字，y第二关键字升序排序 
bool cmp(node x,node y){
    if(!zt(x.x-y.x)) return zt(x.y-y.y)<0;
    else return zt(x.x-y.x)<0;
}

//判断两个点是否重合 
bool eq(node x,node y){
    return (!zt(x.x-y.x)&&!zt(x.y-y.y));
}

//点积 
inline double pointmul(node x,node y){
    return x.x*y.x+x.y*y.y;
}

//叉积
inline double Xmul(node x,node y){
    return x.x*y.y-x.y*y.x;
} 

//两个向量夹角
inline double getthita(node x,node y){
    double now=pointmul(x,y)/pointmul(x,x)/pointmul(y,y);
    //acos和asin损失精度比较厉害，所以可以转化成点之后用atan2 
    return atan2(sqrt(1-now*now),now);
}

//求一个向量旋转thita角之后得到的向量
inline node rotate(node l,double thita){
    double co=cos(thita),si=sin(thita);
    return (node){l.x*co-l.y*si,l.x*si+l.y*co};
} 

//两点间距离 
inline double dist(node x,node y){
    return sqrt((x.x-y.x)*(x.x-y.x)+(x.y-y.y)*(x.y-y.y));
}

struct lines{
    //点向法表示直线 
    node base,vec;
};

//两直线交点 
inline node pub(lines a,lines b){
    return a.base+a.vec*fabs(Xmul(a.base-b.base,b.vec)/Xmul(a.vec,b.vec));
}

//求多边形(可以不凸，但是各边不能乱交) 
inline double S(node *u,int len){
    if(!flag){
        //如果不是求出凸包后得到的多边形的话还需要按照极角排序。
        //不过如果是求出的凸包之后的多边形极角已经是有序的了。 
        for(int i=1;i<=len;i++) u[i].omega=atan2(u[i].y,u[i].x);
        sort(u+1,u+len+1);
    }
    
    double an=0;
    for(int i=2;i<=len;i++) an+=Xmul(u[i-1],u[i]);
    an+=Xmul(u[len],u[1]);
    
    return an/2.00;
}

//把点集u变成一个凸包(而且极角已经有序),并返回凸包上点的个数 
inline int get_hill(node *u,int len){
    //求凸包的话得按x和y坐标排序
    sort(u+1,u+len+1,cmp);
    int tt=0,tot=0;
    
    //下凸包 
    q[1]=u[1],q[2]=u[2],tt=2;
    for(int i=3;i<=len;i++){
        while(tt>1&&zt(Xmul(q[tt]-q[tt-1],u[i]-q[tt]))<0) tt--;
        q[++tt]=u[i];
    }
    for(int i=1;i<=tt;i++) ret[++tot]=q[i];
    
    //上凸包 
    q[1]=u[1],q[2]=u[2],tt=2;
    for(int i=3;i<=len;i++){
        while(tt>1&&zt(Xmul(q[tt]-q[tt-1],u[i]-q[tt]))>0) tt--;
        q[++tt]=u[i];
    }
    for(int i=tt;i;i--) if(!eq(q[i],ret[tot])&&!eq(q[i],ret[1])) ret[++tot]=q[i];    
    
    for(int i=1;i<=tot;i++) u[i]=ret[i];
    flag=1;
    return tot;
} 

int n;
double B;

inline void solve(int problem_id){
    if(problem_id==2785){
        scanf("%d%lf",&n,&B);
        for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf%lf",&c[i].x,&c[i].y);
        printf("%.4lf
",B*S(c,n));
    }
    
    if(problem_id==2742){
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf%lf",&c[i].x,&c[i].y);
        n=get_hill(c,n);
        
        double ans=0;
        for(int i=2;i<=n;i++) ans+=dist(c[i],c[i-1]);
        ans+=dist(c[1],c[n]);
        
        printf("%.2lf
",ans);
    }
}

int main(){
    srand(time(0));
    solve(rand()%1+2742);
    return 0;
}