[笔记] 求树的直径

要开始学图论了。。。。。老是被在对面高二机房的高一学长图论强者ddy虐。。。。。

---

树的直径

update（2019.04.02）：！！！dfs无法解决负权树（我是调了一晚上的渣渣）

给定一棵树，树中每条边都有一个权值，树中两点之间的距离定义为连接两点的路径边权之和。树中最远的两个节点之间的距离被称为树的直径，连接这两点的路径被称为树的最长链。后者通常也可称为直径，即直径是一个数值概念，也可代指一条路径。

树的直径通常有两种求法，时间复杂度均为O(n)。我们假设树以N个点N-1条边的无向图形式给出，并存储在邻接表中。

树形DP
设1号节点为根,"N个点N-1条边的无向图"就可以看做“有根树”

设d[x]表示从节点x出发走向以x为根的子树，能够到达的最远节点的距离。设x的子节点为y1,y2, y3, ..., yt，edge(x, y)表示边权，

显然有 d[x] = max{d[yi] + edge(x, yi)}(1 <= i <= t)

接下来，我们可以考虑对每个节点x求出  经过节点x的最长链的长度 f[x]，整棵树的直径就是max{f[x]}(1 <= x <= n)

对于x的任意两个节点yi和yj， 经过节点x的最长链长度 可以通过四个部分构成：

　　从yi到yi子树中的最远距离，边(x, yi)，边(x, yj)，从yj到yj子树中的最远距离。设j < i，因此：　　f[x] = max{d[yi] + d[yj] + edge(x, yi) + edge(x, yj)}(1 <= j < i <= t)　　

（后面的这段from一本蓝书QAQ我太菜了）但是我们没有必要使用两层循环来枚举i, j。

在计算d[x]时，子节点的循环将要枚举到i时d[x]恰好就保存了从节点x出发走向“以yj(j < i)为根的子树”，能够到达的最远节点的距离，这个距离就是max{d[yi] +edge(x, yi)}(1 <= j < i)。所以我们先用d[x] + d[yi] + edge(x, yi)更新f[x]，再用d[yi] + edge(x, yi)更新d[x]即可

两次BFS or DFS求树的直径
通过两次BFS或者两次DFS也可以求树的直径，并且更容易计算出直径上的具体节点

详细地说，这个做法包含两步：

　　1.从任意节点出发，通过BFS和DFS对树进行一次遍历，求出与出发点距离最远的节点记为p

　　2.从节点p出发，通过BFS或DFS再进行一次遍历，求出与p距离最远的节点，记为q。

从p到q的路径就是树的一条直径。因为p一定是直径的一端，否则总能找到一条更长的链，与直径的定义矛盾。显然地脑洞一下即可。p为直径的一端，那么自然的，与p最远的q就是直径的另一端。

在第2步的遍历中，可以记录下来每个点第一次被访问的前驱节点。最后从q递归到p，即可得到直径的具体方案

---

下面给出树形dp和dfs的代码。。。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#define R register int
using namespace std;
const int M=1000010,N=100010;
inline int g() {
    R ret=0,fix=1; register char ch; while(!isdigit(ch=getchar())) fix=ch=='-'?-1:fix;
    do ret=ret*10+(ch^48); while(isdigit(ch=getchar())); return ret*fix;
}
struct node{
    int v,w,nxt;
}e[M];
int n,m,cnt;
int fir[N];
long long d[N];
bool vis[N];
inline void add(int u,int v,int w) {e[++cnt].v=v,e[cnt].w=w,e[cnt].nxt=fir[u],fir[u]=cnt;}
namespace _dp {
    long long ans=0;
    void dp(int u,int fa) {
        for(R i=fir[u];i;i=e[i].nxt) {
            R v=e[i].v;
            if(v==fa) continue;
            dp(v,u);
            ans=max(ans,d[u]+d[v]+e[i].w);
            d[u]=max(d[u],d[v]+e[i].w);
        }
    }
    inline void solve() {
        memset(d,0,sizeof(d));
        n=g(),m=g();
        for(R i=1,u,v,w;i<=m;++i) u=g(),v=g(),w=g(),add(u,v,w),add(v,u,w);
        dp(1,0);
        printf("%lld
",ans);
    }
}
namespace _dfs {
    #define Inf 0x3f3f3f3f
    long long mx=-Inf,ans=0;
    int st,ed;
    void dfs(int u,int fa) {
        for(R i=fir[u];i;i=e[i].nxt) {
            R v=e[i].v;
            if(v==fa) continue;
            d[v]=d[u]+e[i].w;
            dfs(v,u); 
        }
    }
    inline void solve() {
        memset(d,0x3f,sizeof(d));
        n=g(),m=g();
        for(R i=1,u,v,w;i<=m;++i) u=g(),v=g(),w=g(),add(u,v,w),add(v,u,w);
        d[1]=0; dfs(1,0);
        for(R i=1;i<=n;++i) if(d[i]>mx&&d[i]!=Inf) 
            mx=d[i],st=i;
        memset(d,0x3f,sizeof(d));
        d[st]=0; dfs(st,0);
        mx=-Inf;
        for(R i=1;i<=n;++i) if(d[i]>mx&&d[i]!=Inf)
            mx=d[i],ed=i;
        printf("%d %lld %d
",st,mx,ed);
    }
}
signed main() {
    _dp::solve();
    //_dfs::solve();
}

---

例题：

　　poj1985

　　luogu P2491 [SDOI2011]消防

2019.04.01QWQ好久没更博客了。。。