CF24D Broken robot 后效性DP

这题咕了好久.....

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设$f[i][j]$表示从$(i,j)$到最后一行的期望步数；

则有

$ f[i][1]=frac{1}{3}(f[i][1]+f[i][2]+f[i+1][1])+1$

$ f[i][m]=frac{1}{3}(f[i][m]+f[i][m-1]+f[i+1][m])+1$

$ f[i][j]=frac{1}{4}(f[i][j]+f[i][j-1]+f[i][j+1]+f[i+1][j])+1$

所以他有后效性（于是我们疯狂迭代）

然而要高斯消元。。。。

具体的来说，就是把每行的每个转移都写在系数矩阵里，对这一行进行高斯消元；增广矩阵要写已知量；

化简上面的式子：

$frac{2}{3}*f[i][1]-frac{1}{3}*f[i][2]=frac{1}{3}*f[i+1][1]+1 $

$frac{2}{3}*f[i][m]-frac{1}{3}*f[i][m-1]=frac{1}{3}*f[i+1][m]+1$

$frac{3}{4}*f[i][j]-frac{1}{4}*f[i][j-1]-frac{1}{4}*f[i][j+1]=frac{1}{4}*f[i+1][j]+1$

注意，高斯消元消的是某一行，每个位置的值。

又注意到上面的有分数不美观，实际写的时候可以化简（方程两边同乘1个数）。

还有，高斯消元的过程需要简化

深蓝代表系数矩阵中有数的位置，浅灰蓝色为增广矩阵。

先消成这个样子：

然后从最后一行向上代入

#include<cstdio>
#include<iostream>
#define R register int
#define db double
using namespace std;
inline int g() {
    R ret=0,fix=1; register char ch; while(!isdigit(ch=getchar())) fix=ch=='-'?-1:fix;
    do ret=ret*10+(ch^48); while(isdigit(ch=getchar())); return ret*fix;
}
int n,m,x,y;
db f[1003],a[1003][1003];
inline void init() {
    a[1][1]=2,a[1][2]=-1,a[1][m+1]=3+f[1];
    a[m][m]=2,a[m][m-1]=-1,a[m][m+1]=3+f[m];
    for(R i=2;i<m;++i) a[i][i]=3,a[i][i-1]=a[i][i+1]=-1,a[i][m+1]=f[i]+4;
}
inline void Gauss() {
    for(R i=1;i<=m;++i) { if(i<m) a[i][i+1]/=a[i][i];
        a[i][m+1]/=a[i][i],a[i][i]=1;
        a[i+1][i+1]-=a[i][i+1]*a[i+1][i];
        a[i+1][m+1]-=a[i][m+1]*a[i+1][i],a[i+1][i]=0;
    } for(R i=m-1;i;--i) a[i][m+1]-=a[i][i+1]*a[i+1][m+1];
    for(R i=1;i<=m;++i) f[i]=a[i][m+1];
}
signed main() {
    n=g(),m=g(),x=g(),y=g();
    if(m==1) printf("%.10lf
",(db)2*(n-x));
    else { for(R i=n-1;i>=x;--i) {
            init(); Gauss();
        } printf("%.10lf
",f[y]);
    }
} 

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2019.05.24