桶中取黑白球问题

有一个桶，里面有白球、黑球各100个，人们必须按照以下规则把球取出来：

1. 每次从桶里面拿两个球
2. 如果是两个同色的球，就再放入一个黑球;
3. 如果是两个异色的球，就再放入一个白球。

问题是：最后桶里面只剩下一个黑球的概率是多少?

针对这样一个问题，我们有两种不一样的解法：

方法一：

 

首先，我们可以通过相应的数学式来建立与上述三个条件等同的表达方式。在这里，我们可以使用集合的概念来表示，如（黑球数，白球数），初始状态为（100，100）。在这里，我们首先从简单的情况入手分析，假设初如状态黑球、白球均含有两个的情况下，也即（2，2）时，我们根据上述三条规则，利用集合表达式来表达三条规则：

1. 当从中取出两个相同的白球时，可表示为（0，-2），负号表示取走、减少的含义，则应该再添加一个黑球，即（1，0），则最终桶中球的变化为：（0，-2）+（1，0）=（1，-2）;
2. 当从中取出两个相同的黑球时，可表示为（-2，0），负号表示取走、减少的含义，则应该再添加一个黑球，即（1，0），则最终桶中球的变化为：（-2，0）+（1，0）=（-1，0）;
3. 当从中取出黑、白两球各一个时，可表示为（-1，-1）， 负号表示取走、减少的含义，则应该再添加一个白球，即（0，1），则最终桶中球的变化为：（-1，-1）+（0，1）=(-1，0）;

从上面三种可能的取球结果，我们很容易总结出下面两条规律：

• 无论哪种取法，桶中球数总是在不断减少，而且每次总是减少一个球（取两个，放进一个），这样，我们也就可以推测，最终确实会到达桶中只有一个球的状态。当然此时，白球、黑球都有可能。
• 无论哪种取法，每次白球减少的个数总是只有两种情况，要么不增不减，要么减少两个，不存在只减少一个白球的情况，从上述取球结果中可以得出。

现在，我们从上述两条规律可以得出结论呢。因为初始状态时，黑、白球个数均为偶数，即100个，根据规律二，最终不可能会出现只有一个白球的情况，而每次球的总数却在每次取球的过程中稳定减少一个，故最终只剩下一个黑球的概率为百分之百。

方法二：

 

从问题的三个规则，我们可以联想到使用离散数学中的异或算术表达式，即XOR。因为当取出两个同色的球，就再放入一个黑球，当取出两个异色球时，则再放入一个白球。与异或算术表达式的运算规则完全一样，在这里，我们只需要合理地将黑球将为0，白球设为1，即可。因为根据异或算术表达式，有下面的结果：

1. (0XOR0)=0
2. (1XOR1)=0
3. (0XOR1)=1

再者，因为异或运算符合结合律，因此无论是何种取法，最终的结果都是唯一的。也就是说游戏的结果与过程无关，只与初始状态黑、白球的个数有关。因为初始状态，黑、白球个数均为偶数100个，因此根据异或表达式，我们很容易得出将这所有的100个黑球（0）和100个白球（1）进行异或运算的结果答案只能是黑球（0）。

 

使用这种方法，我们也可以得出，不管初始状态，黑、白球的个数如何，最终的结果都是两者异或值。分为三种结果：

1. 当黑、白两球的个数均为偶数时，异或的结果必然是只剩黑球（0）。
2. 当黑、白两球的个数均为奇数时，异或的结果必然是只剩白球（1）。
3. 当黑、白两球的个数一个为奇数一个为偶数时，异或的结果必然是只剩白球（1）。