扩展欧几里得算法

扩展欧几里得算法

为了介绍扩展欧几里得，我们先介绍一下贝祖定理：

           即如果a、b是整数，那么一定存在整数x、y使得ax+by=gcd(a,b)。

换句话说，如果ax+by=m有解，那么m一定是gcd(a,b)的若干倍。（可以来判断一个这样的式子有没有解）

有一个直接的应用就是 如果ax+by=1有解，那么gcd(a,b)=1；

要求出这个最大公因数gcd(a,b)，我们最容易想到的就是古老悠久而又相当强大的辗转相除法：

int gcd(int a,int b)
{
return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

但是，对于上面的式子ax+by=m来说，我们并不仅仅想要知道有没有解，而是想要知道在有解的情况下这个解到底是多少。

所以，扩展欧几里得

        当到达递归边界的时候，b==0，a=gcd(a,b) 这时可以观察出来这个式子的一个解：a*1+b*0=gcd(a,b)，x=1,y=0，注意这时的a和b已经不是最开始的那个a和b了，所以我们如果想要求出解x和y，就要回到最开始的模样。（倒着递归回去）

        初步想法：由于是递归的算法，如果我们知道了这一层和上一层的关系，一层一层推下去，就可以推到最开始的。类似数学上的数学归纳法。

        假设当前我们在求的时a和b的最大公约数，而我们已经求出了下一个状态：b和a%b的最大公因数，并且求出了一组x1和y1使得                          b*x1+(a%b)*y1=gcd

（注意在递归算法中，永远都是先得到下面一个状态的值）

这时我们可以试着去寻找这两个相邻状态的关系：

首先我们知道：a%b=a-(a/b)*b；带入：

b*x1 + (a-(a/b)*b)*y1

= b*x1 + a*y1 – (a/b)*b*y1

= a*y1 + b*(x1 – a/b*y1) = gcd   发现 x = y1 , y = y1 – a/b*x

这样我们就得到了每两个相邻状态的x和y的转化，就可以在求gcd的同时对x和y进行求值了

代码

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if (b == 0)
    {
        x = 1; y = 0;
        return a;
    }
    int r=exgcd(a, a%b, x, y);
    int temp = y;
    x = y;
    y = x - (a / b)*temp;
    return r;

}

算法应用

求解逆元

逆元的概念：对于缩系中的元素，每个数a均有唯一的与之对应的乘法逆元x,使得ax≡1(mod n)。一个数有逆元的充分必要条件是gcd(a,n)=1,此逆元唯一存在。

逆元的意义：模n意义下，1个数a如果有逆元x，那么除以a相当于乘以x。

给定模数n，求a的逆相当于求解ax=1(mod n),这个方程可以转化为ax-my=1,然后套用二元一次方程的方法，用扩展欧几里得算法求得一组x0,y0和gcd;

检查gcd是否为1，gcd不为1说明逆元不存在，若为1,调整x0到0~m-1的范围中即可。

代码

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
using namespace std;
long long x, y;
long long exgcd(long long a, long long b, long long &x, long long &y)
{
    if (b == 0)
    {
        x = 1; y = 0;
        return a;
    }
    long long r = exgcd(b, a%b, y, x);//因为x变为y，所以xy互换位置
    y -= (a / b)*x;
    return r;
}
long long reverse(long long a, long long n)//ax=1(mod n) 求a的逆元x 
{    
    long long d;
    d = exgcd(a, n, x, y);
    if (d == 1)//若为1,调整x0到0~m-1的范围中即可
        return (x%n + n) % n;
    else return -1;//gcd不为1说明逆元不存在
}

原文链接：https://blog.csdn.net/destiny1507/article/details/81750874、https://blog.csdn.net/Greenary/article/details/79343176