范数与距离
距离的概念
给定一个集合(V),在(V)上定义一种新的运算:距离
:(V imes V
ightarrow R,forall x,y in V,)在(R)中都有唯一的元素(delta)与之对应,称为(x,y)之间的距离。
满足的性质:
- (d(x,y)geqslant0,forall x,y in V)且(d(x,y)=0Leftrightarrow x=y)(非负性)
- (d(x,y)leqslant d(x,y)+d(y,z))(三角不等式)
- (d(x,y)=d(y,x))(自反性)
范数的概念
设(V)是一个实线性空间,对应的数域为(R),在其上定义范数
运算(Vert·Vert:V
ightarrow R,)即(forall x in V,)在(R)中都有唯一的元素(delta)与之对应,称之为x的范数,记为(Vert xVert)。
满足的性质:
- (Vert xVert geqslant 0)且(Vert xVert = 0 Leftrightarrow x=0)(非负性)
- (Vert axVert = vert avert Vert x Vert, ain R)(齐次性)
- (Vert x+yVert leqslant Vert xVert + Vert yVert, x,yin V)(三角不等式)
向量范数与矩阵范数的理解
我们都知道,函数与几何图形往往是有对应的关系,这个很好想象,特别是在三维以下的空间内,函数是几何图像的数学概括,而几何图像是函数的高度形象化,比如一个函数对应几何空间上若干点组成的图形。但当函数与几何超出三维空间时,就难以获得较好的想象,于是就有了映射的概念。
映射表达的就是一个集合通过某种关系转为另外一个集合
。通常数学书是先说映射,然后再讨论函数,这是因为函数是映射的一个特例。为了更好的在数学上表达这种映射关系,(这里特指线性关系)于是就引进了矩阵
。这里的矩阵就是表征上述空间映射的线性关系。而通过向量来表示上述映射中所说的这个集合,而我们通常所说的基,就是这个集合的最一般关系。于是,我们可以这样理解,一个集合(向量),通过一种映射关系(矩阵),得到另外一个集合(另外一个向量)。
向量的范数,就是表示这个原有集合的大小。
矩阵的范数,就是表示这个变化过程的大小的一个度量。
范数的分类
1.L-P范数
L-P范数不是一个范数,而是一组范数:
随着P的变化,范数也有着不同的变化,如下图为P从无穷到0变化的时候,三维空间中倒原点的距离(范数)为1的点构成的图形的变化情况。
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2.L0范数
当P=0时,也就是L0范数,由上面可知,L0范数并不是一个真正的范数,它主要被用来度量向量中非零元素的个数
。用上面的L-P定义可以得到的L-0的定义为:
3.L1范数
表示向量(x)中非零元素的绝对值之和
。
4.L2范数
表示向量元素的平方和再开平方。L2范数又称Euclidean范数或者Frobenius范数.
距离的分类
1.欧氏距离——对应L2范数
最常见的两点之间或多点之间的距离表示法
,又称之为欧几里得度量
,它定义于欧几里得空间中。如点 (x = (x1,...,x_n)) 和 $y = (y1,...,y_n) $之间的欧氏距离:
转载/参考:https://blog.csdn.net/jack_20/article/details/72896459