【LeetCode解题总结】递归篇

思想分类

• 分治是把一个大规模的问题不断地变小然后进行推导的过程。
• 回溯则是从问题的起始点出发，不断地进行尝试，回头一步甚至多步再做选择，直到最终抵达终点的过程。

分治

思想

将一个问题的规模变小，然后再利用从小规模问题中得出的结果，结合当前的值或者情况，得出最终的结果。

模板

function fn(n) {
  // 第一步：判断输入或者状态是否非法？
  if (input/state is invalid) {
  		return;
  }
  // 第二步：判读递归是否应当结束?
  if (match condition) {
    	return some value;
  }
  // 第三步：缩小问题规模
  result1 = fn(n1)
  result2 = fn(n2)
  // 第四步: 整合结果
  return combine(result1, result2)
}

复杂度

公式法可以说是计算递归函数复杂度最方便的工具，当递归函数的时间执行函数满足如下的关系式时，我们可以利用公式法：T(n) = a×T(n/b) + f(n)。其中，f(n) 是每次递归完毕之后额外的计算执行时间。例如，在归并排序中，每次递归处理完两边的数组后，我们需要执行合并的操作，那么这个操作的执行时间就是 f(n)。当参数 a、b 都确定的时候，光看递归的部分，它的时间复杂度就是：O(n^logba)。

由于时间复杂度求的是上界（upper bound)，通过对比递归部分的时间复杂度和 f(n) 的大小关系，得出最后的整体时间复杂度。牢记以下三种情况和相应公式：

当递归部分的执行时间 nlog(b)a 大于 f(n) 的时候，最终的时间复杂度就是 O(n^logba)。

当递归部分的执行时间 nlog(b)a 小于 f(n) 的时候，最终的时间复杂度就是 f(n)。

当递归部分的执行时间 nlog(b)a 等于 f(n) 的时候，最终的时间复杂度就是 O(n^logba)logn。

回溯

思想

在回溯算法里，是一步一步地小心翼翼地进行向前试探，会对每一步探测到的情况进行评估，如果当前的情况已经无法满足要求，那么就没有必要继续进行下去。

回溯算法的特点在于，当出现非法的情况时，算法可以回退到之前的情景，可以是返回一步，有时候甚至可以返回多步，然后再去尝试别的路径和办法。

模板

function fn(n) {
  // 第一步：判断输入或者状态是否非法？
  if (input/state is invalid) {
  		return;
 }
  // 第二步：判读递归是否应当结束?
  if (match condition) {
	    return some value;
 }
  // 遍历所有可能出现的情况
  for (all possible cases) {
    // 第三步: 尝试下一步的可能性
	    solution.push(case)
    // 递归
	    result = fn(m)
    // 第四步：回溯到上一步
	    solution.pop(case)
  }   

常见解题思路

分治

回溯

注意事项

• 将回溯的结果列表保存为全局变量可以加速程序