数据结构 | 树与二叉树常用计算公式

在二叉树的理论推导以及一些高频类型题中，我们经常需要计算二叉树的总结点数，某一层的结点数以及已知结点数反推树的高度，本文围绕这几个高频知识点，归纳总结以下公式。

公式

（1）非空二叉树叶子结点数 = 度为2的结点数 + 1 即，$ N_0 = N_2 + 1 $

（2）非空二叉树上第K层至多有$ 2^{k-1} $ 个结点（$ K ge 1 $）

（3）高度为H的二叉树至多有$ 2^H - 1 $ 个结点（$ H ge 1 $）

（4）具有N个（$ N > 0 $）结点的完全二叉树的高度为 $ lceil log_2{(N+1)} ceil $ 或 $ lfloor log_2{N} floor + 1 $

（5）对完全二叉树按从上到下、从左到右的顺序依次编号1,2，...，N，则有以下关系：

① 当 $ i > 1 $ 时，结点 $ i $ 的双亲结点编号为 $ lfloor i/2 floor $ ，即当 $ i $ 为偶数时，其双亲结点的编号为 $ i/2 $ ，它是双亲结点的左孩子；当 $ i $ 为奇数时，其双亲结点的编号为 $ (i-1)/2 $ ，它是双亲结点的右孩子。

② 当 $ 2i le N $ 时，结点i的左孩子编号为 $ 2i $ ，否则无左孩子。

③ 当 $ 2i+1 le N $ 时，结点i的右孩子编号为 $ 2i+1 $ ，否则无右孩子。

④ 结点 $ i $ 所在层次（深度）为 $ lfloor log_2{i} floor +1 $ 。（设根结点为第1层）

经典例题

**408考研-2011-4** 若一棵完全二叉树有768个结点，则二叉树中叶结点的个数是_____。
A.257            B.258            C.384            D.385

解法1

根据完全二叉树的性质，最后一个分支结点的序号为 $ lfloor n/2 floor = lfloor 768/2 floor = 384 $ ，故叶子结点的个数为 $ 768 - 384 = 384 $

解法2

由二叉树的性质 $ N = N_0 + N_1 + N_2 $ 和 $ N_0 = N_2 + 1 $ 可知

$ N = 2N_0 - 1 + N_1 ， 2N_0 - 1 + N_1 = 768 $

显然，$ N_1 = 1 ， 2N_0 = 768 ，则 N_0 = 384 $

解法3

完全二叉树的叶子结点只可能出现在最下两层，由题可计算完全二叉树的高度为10。

第10层的叶子结点数为 $ 768 - (2^9-1) = 257 $

第10层的叶子结点在第9层共有 $ lceil 257/2 ceil = 129 $ 个父节点

第9层的叶子结点数为 $ (2^9 - 1) - 129 = 127 $

则叶子结点总数为 $ 257 + 127 = 384 $