C++-蓝桥杯-波动数组[2014真题][DP优化]

无非是计算s1个+a和s2个-b的排列数（s1+s2=(1+n)*n/2=sum）

比如在第一位+a的话，之后的每个数都累积了+a，相当于当前排上了n-1个+a

所以，可以设状态f[i][j]为：用数字1~i(每个只能选一次)可以组成和为j的方案数

实际上就是一个容量=价值的01背包

对于s1（0~sum）：s=nx+s1*a-s2*b

即依次验证，对于每个s1，是否有：(s-s1*a+s2*b) %n==0

先看，70分代码，未进行空间优化的DP

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int MOD=1e8+7,N=1010;
int f[N][100000],n,s,a,b,sum;
int DP(){
    sum=(1+n)*n/2;
    for(int i=0;i<=n;i++)f[i][0]=1;
    for(int i=1;i<n;i++)
        for(int j=1;j<=sum;j++){
            if(i>j)f[i][j]=f[i-1][j];
            else f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-i];
            f[i][j]%=MOD;
        }
    int ans=0;
    for(int s1=0;s1<=sum;s1++){
        int s2=sum-s1;
        if((s-s1*a+s2*b)%n==0)ans=(ans+f[n-1][s1])%MOD;
    }
    return ans;
}
int main(){
    cin>>n>>s>>a>>b;
    cout<<DP()<<endl;
    return 0;
}

问题就在于f数组的第二维，开不下了退而求其次只取到了1e5，实际上要到sum

由于转移是不跨行的，我们用滚动数组的方法，就可以进行DP的空间优化了，见100分代码

PS:对于需要检验的式子：(s-s1*a+s2*b) 是可能会爆int的,需要开ll，懒得写防爆乘了

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MOD=1e8+7,N=600000;
int f[2][N],n,s,a,b,sum;
int DP(){
    sum=(1+n)*n/2;
    f[0][0]=f[1][0]=1;
    for(int i=1;i<n;i++){
        for(int j=1;j<=sum;j++)
            if(i>j)f[1][j]=f[0][j];
            else f[1][j]=(f[0][j]+f[0][j-i])%MOD;
        for(int j=1;j<=sum;j++)swap(f[0][j],f[1][j]);
    }
    ll ans=0;
    for(ll s1=0;s1<=sum;s1++){
        ll s2=sum-s1;
        if((s-s1*a+s2*b)%n==0)ans=(ans+f[0][s1])%MOD;
    }
    return ans;
}
int main(){
    cin>>n>>s>>a>>b;
    cout<<DP()<<endl;
    return 0;
}