剑指Offer对答如流系列

面试题53：在排序数组中查找数字

题目描述

问题（1） 数字在排序数组中出现的次数

统计一个数字在排序数组中出现的次数。

例如输入排序数组{1, 2, 3, 3,3, 3, 4, 5}和数字3，由于3在这个数组中出现了4次，因此输出4。

问题（2）0到n-1中缺失的数字

一个长度为n-1的递增排序数组中的所有数字都是唯一的，并且每个数字都在范围0到n-1之内。在范围0到n-1的n个数字中有且只有一个数字不在该数组中，请找出这个数字。

问题（3）数组中数值和下标相等的元素

假设一个单调递增的数组里的每个元素都是整数并且是唯一的。

请编程实现一个函数找出数组中任意一个数值等于其下标的元素。例如，在数组{-3, -1,1, 3, 5}中，数字3和它的下标相等。

问题分析

问题（1）分析

思路一：

对于一个排序数组，最容易想到的方法就是二分查找，不过重要的是找到第一个和最后一个3，所以要改进二分法：对于中间数字等于3的情况，这时可以分类讨论如下：

1. 如果中间数字的前一个数字也等于3，说明第一个3在前面，继续在前半段查找第一个3；

2. 如果中间数字的前一个数字不等于3，说明该位置是第一个3；

3. 如果中间数字的后一个数字也等于3，说明最后一个3在后面，继续在后半段查找最后一个3；

4. 如果中间数字的后一个数字不等于3，说明该位置是最后一个3；

思路二：

由于数组是排序的整数，可以直接找k-0.5和k+0.5应该在数组中哪个位置。这种方法一目了然。（不要从头到尾遍历，走二分查找吧）

问题（2）分析

数组形式大概是这样的：

由于是排序数组，大都走二分查找算法，结合上图可知：

当中间数字等于其下标时，我们在后半部分查找；

当中间数字不等于其下标时：

1. 如果中间数字的前一个数字也不等于其下标，则在前半部分查找；

2. 如果中间数字的前一个数字等于其下标，则说明中间数字的下标即为我们所要找的数字。

问题（3）分析

排序数组继续走二分查找：

1. 当中间数字等于其下标时，中间数字即为所求数字；

2. 当中间数字大于其下标时，在左半部分区域寻找；

3. 当中间数字小于其下标时，在右半部分区域寻找；

问题解答

问题（1）

思路一：

    public int GetNumberOfK(int [] array , int k) {
        if(array==null || array.length<=0) {
            return 0;
        }
        int firstK = getFirstK(array,0,array.length-1,k);
        if(firstK == -1) {
            return 0;
        }
        int lastK = getLastK(array,firstK,array.length-1,k);
        return lastK-firstK+1;
    }

    private int getFirstK(int[] arr, int start, int end,int k){
        if(start>end) {
            return -1;
        }
        int mid = (start+end)>>1;
        if(arr[mid]==k){
            if( mid == 0 ||arr[mid-1]!=k ) {
                return mid;
            } else {
                end = mid-1;
            }
        } else if (arr[mid]<k){
            start = mid+1;
        } else {
            end = mid-1;
        }
        return getFirstK(arr,start,end,k);
    }

    private int getLastK(int[] arr, int start, int end,int k){
        if(start>end) {
            return -1;
        }
        int mid = (start+end)>>1;
        if(arr[mid]==k){
            if(mid==arr.length-1 || arr[mid+1]!=k ) {
                return mid;
            } else {
                start = mid+1;
            }
        } else if(arr[mid]<k){
            start = mid+1;
        } else {
            end = mid-1;
        }
        return getLastK(arr,start,end,k);
    }

思路二：

  public int GetNumberOfK(int [] arr , int k) {
        if(arr==null || arr.length<=0) {
            return 0;
        }
        int first = getLoc(arr, k , k-0.5);
        int last = getLoc(arr,k,k+0.5);
        return last-first;
    }
    
    private int getLoc(int[]arr, int k, double m){ 
        int start=0,end=arr.length-1;
        while(start <= end){
            int mid=(start+end)>>1;
            if(arr[mid]>m){
                end=mid-1;
            } else {
                start=mid+1;
            }
        }
        return start;
    }

问题（2）

    public int getNumberSameAsIndex(int[] arr) {
        if(arr==null || arr.length<=0) {
            // 表示错误
            return -1;  
        }
        int low=0;
        int high=arr.length-1;
        while(low<=high) {
            int mid= (high+low)>>1;
            if(arr[mid]>mid) {
                high=mid-1;
            } else if(arr[mid]<mid) {
                low=mid+1;
            } else {
                return mid;
            }
        }
        return -1;
    }

问题（3）

    public int getNumberSameAsIndex(int[] arr) {
        if(arr==null || arr.length<=0) {
            // 表示错误
            return -1;  
        }
        int low=0;
        int high=arr.length-1;
        while(low<=high) {
            int mid= (high+low)>>1;
            if(arr[mid]>mid) {
                high=mid-1;
            } else if(arr[mid]<mid) {
                low=mid+1;
            } else {
                return mid; 
            }
        }
        return -1;
    }