剑指Offer对答如流系列

面试题60：n个骰子的点数

题目描述

把n个骰子扔在地上，所有骰子朝上一面的点数之和为s。输入n，打印出s的所有可能的值出现的概率。

问题分析

这个问题需要点高中数学的知识。

对于n个骰子，要计算出每种点数和的概率，我们知道投掷n个骰子的总情况一共有6^n种，因此只需要计算出某点数和的情况一共有几种，即可求出该点数之和的概率。

思路一：递归暴力

我们知道点数之和s的最小值为n，最大值为6*n，因此考虑用一个大小为（6*n-n+1）的数组存放不同点数之和的情况个数，那么，如果点数之和为x，那么把它出现的情况总次数放入数组种下标为x-n的元素里。

确定了如何存放不同点数之和的次数之后，我们要计算出这些次数。我们把n个骰子分为1个骰子和n-1个骰子，这1个骰子可能出现1~6个点数，由该骰子的点数与后面n-1个骰子的点数可以计算出总点数；而后面的n-1个骰子又可以分为1个和n-2个，把上次的点数，与现在这个骰子的点数相加，再和剩下的n-2个骰子的点数相加可以得到总点数……，即可以用递归实现。在获得最后一个骰子的点数后可以计算出几个骰子的总点数，令数组中该总点数的情况次数+1，即可结束遍历。

可以感受到，计算量实在太大了，效率会比较低。

思路二：动态规划

剑指Offer的解答过于繁琐与复杂。这里提供一种相对理解简单，容易实现的方法。

我们通过分析能够发现 n个骰子的点数依赖于n-1个骰子的点数，相当于在n-1个骰子点数的基础上再进行投掷。

由此定义状态转移方程为f(n,k)表示n个骰子点数和为k时出现的次数，于是可得:

f(n,k)=f(n−1,k−1)+f(n−1,k−2)+f(n−1,k−3)+f(n−1,k−4)+f(n−1,k−5)+f(n−1,k−6)

其中 n>0且k<=6n，f(n−1,k−i)表示的是第n次掷骰子时，骰子的点数为i对应的情况

从k−1到k−6分别对应第n次掷骰子时骰子正面为1到6的情况。而初始状态可以定义为：

f(1,1)=f(1,2)=f(1,3)=f(1,4)=f(1,5)=f(1,6)=1

问题解答

思路一：

    private final int maxValue = 6;

    public  void printProbability1(int number) {
        if(number<=0) {
            return;
        }

        int[] probabilities = new int[maxValue*number-number+1];
        Arrays.fill(probabilities,0);

        //计算不同点数出现的次数
        for(int i=1;i<=maxValue;i++) {
            //第一次掷骰子，总点数只能是1~maxValue(即6)
            calP(probabilities, number, number-1, i);
        }
        
        //所有情况总共出现的次数
        int totalP = (int) Math.pow(maxValue, number);  
        for(int i=0; i<probabilities.length; i++) {
            double ratio = (double)probabilities[i]/totalP;
            NumberFormat format = NumberFormat.getPercentInstance();
            format.setMaximumFractionDigits(2);//设置保留几位小数
            System.out.println("点数和为"+(i+number)+"的概率为:"+format.format(ratio));
        }
    }

    private  void calP(int[] probabilities, int number, int curNumber, int sum) {
        if(curNumber==0) {
            probabilities[sum-number]++; //总数为sum的情况存放在sum-number下标中
            return;
        }
        for(int i=1; i<=maxValue; i++) {
            // 相当于剩余的骰子少一个，总点数增加。
            calP(probabilities, number, curNumber-1, sum+i);  
        }
    }

思路二：

  public  void printProbability(int number) {
        double total = Math.pow(6,number);
        for(int i=number; i<=6*number; i++) {
            double ratio = (double)getNSumCount(number,i)/total;
            NumberFormat format = NumberFormat.getPercentInstance();
            format.setMaximumFractionDigits(2);//设置保留几位小数
            System.out.println("点数和为"+getNSumCount(number,i)+"的概率为:"+format.format(ratio));
        }
    }

    private int getNSumCount(int n, int sum) {
        if(n<1 || sum<n || sum>6*n) {
            return 0;
        }
        if(n==1) {
            return 1;
        }
        int resCount;
        resCount = getNSumCount(n-1,sum-1)+getNSumCount(n-1,sum-2)+
                getNSumCount(n-1,sum-3)+getNSumCount(n-1,sum-4)+
                getNSumCount(n-1,sum-5)+getNSumCount(n-1,sum-6);
        return resCount;
    }