Sobel Derivatives

https://docs.opencv.org/2.4/doc/tutorials/imgproc/imgtrans/sobel_derivatives/sobel_derivatives.html

OpenCV 2.4 C++ 边缘梯度计算 --- sobel 使用说明

Sobel算子

Sobel 算子是一个离散微分算子 (discrete differentiation operator)。 它结合了高斯平滑和微分求导，用来计算图像灰度函数的近似梯度。

一.基础知识介绍

[1]图像的边缘

图像的边缘从数学上是如何表示的呢？

图像的边缘上，邻近的像素值应当显著地改变了。而在数学上，导数是表示改变快慢的一种方法，一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。

梯度可谓是多元函数的偏导，表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值，即函数在该点处沿着该方向（此梯度的方向）变化最快，变化率最大（为该梯度的模）。。

用更加形象的图像来解释,假设我们有一张一维图形。下图中灰度值的“跃升”表示边缘的存在：

　　　　

使用一阶微分求导我们可以更加清晰的看到边缘“跃升”的存在(这里显示为高峰值)：

　　

由此我们可以得出：边缘可以通过定位梯度值大于邻域的相素的方法找到。

[2]卷积

卷积可以近似地表示求导运算。

那么卷积是什么呢？

卷积是在每一个图像块与某个算子（核）之间进行的运算。

核呢？

核就是一个固定大小的数值数组。该数组带有一个锚点 ，一般位于数组中央。

 可是这怎么运算啊？

假如你想得到图像的某个特定位置的卷积值，可用下列方法计算：

1. 将核的锚点放在该特定位置的像素上，同时，核内的其他值与该像素邻域的各像素重合；
2. 将核内各值与相应像素值相乘，并将乘积相加；
3. 将所得结果放到与锚点对应的像素上；
4. 对图像所有像素重复上述过程。

用公式表示上述过程如下：

　　　　

在图像边缘的卷积怎么办呢？

计算卷积前，OpenCV通过复制源图像的边界创建虚拟像素，这样边缘的地方也有足够像素计算卷积了。

二.Sobel的卷积实现

Sobel是采用卷积的计算方法实现的。假设被作用的图像为 ,在两个方向上求导：

水平变化求导：将  与一个奇数大小的内核  进行卷积。比如，当内核大小为3时,  的计算结果为图1

垂直变化求导：将 I 与一个奇数大小的内核  进行卷积。比如，当内核大小为3时,  的计算结果为图2

在图像的每一点，结合以上两个结果求出近似梯度大小 ，如图3

计算梯度方向，如图4   （如果以上的角度Θ等于零，即代表图像该处拥有纵向边缘，左方较右方暗）

              图1                                  图2                                    图3                         图4

三.Code

先来看一下C++下 Sobel 的定义

cv：Sobel(  InputArray src ,  OutputArray dst,  int ddepth,  int dx,  int dy,  int ksize=3,   

             double scale=1,double delta=0,intborderType=BORDER_DEFAULT )

各参数的意义如下：

src – 输入图像。
dst – 输出图像，与输入图像同样大小，拥有同样个数的通道。
ddepth –输出图片深度；下面是输入图像支持深度和输出图像支持深度的关系：

src.depth() = CV_8U, ddepth = -1/CV_16S/CV_32F/CV_64F

src.depth() = CV_16U/CV_16S, ddepth = -1/CV_32F/CV_64F

src.depth() = CV_32F, ddepth = -1/CV_32F/CV_64F

src.depth() = CV_64F, ddepth = -1/CV_64F

当 ddepth为-1时， 输出图像将和输入图像有相同的深度。输入8位图像则会截取顶端的导数。

xorder – x方向导数运算参数。
yorder – y方向导数运算参数。
ksize – Sobel内核的大小，可以是：1，3，5，7。  注意：只可以是小于7 的奇数
scale – 可选的缩放导数的比例常数。
delta – 可选的增量常数被叠加到导数中。
borderType – 用于判断图像边界的模式。

#include "opencv2/imgproc/imgproc.hpp"
#include "opencv2/highgui/highgui.hpp"
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>

using namespace cv;

/** @function main */
int main( int argc, char** argv )
{

  Mat src, src_gray;
  Mat grad;
  char* window_name = "Sobel Demo - Simple Edge Detector";
  int scale = 1;
  int delta = 0;
  int ddepth = CV_16S;

  int c;

  /// Load an image
  src = imread( argv[1] );

  if( !src.data )
  { return -1; }
 
 ///高斯模糊---apply a GaussianBlur to our image to reduce the noise ( kernel size = 3 )
  GaussianBlur( src, src, Size(3,3), 0, 0, BORDER_DEFAULT );

  /// Convert it to gray
  cvtColor( src, src_gray, CV_BGR2GRAY );

  /// Create window
  namedWindow( window_name, CV_WINDOW_AUTOSIZE );
 
 ///calculate the “derivatives” in x and y directions
  /// Generate grad_x and grad_y
  Mat grad_x, grad_y;
  Mat abs_grad_x, abs_grad_y;
  /// Gradient X
  //Scharr( src_gray, grad_x, ddepth, 1, 0, scale, delta, BORDER_DEFAULT );
  Sobel( src_gray, grad_x, ddepth, 1, 0, 3, scale, delta, BORDER_DEFAULT );
  convertScaleAbs( grad_x, abs_grad_x );  //convert our partial results back to CV_8U
  /// Gradient Y
  //Scharr( src_gray, grad_y, ddepth, 0, 1, scale, delta, BORDER_DEFAULT );
  Sobel( src_gray, grad_y, ddepth, 0, 1, 3, scale, delta, BORDER_DEFAULT );
  convertScaleAbs( grad_y, abs_grad_y );

  /// Total Gradient (approximate近似)---we try to approximate the gradient by adding both directional gradients 
     (note that this is not an exact calculation at all! but it is good for our purposes).
  addWeighted( abs_grad_x, 0.5, abs_grad_y, 0.5, 0, grad );

  imshow( window_name, grad );

  waitKey(0);

  return 0;
  }