dtoj#4120. 飞行棋（feixingqi）

题目描述：

小G在玩飞行棋。这个飞行棋与一般的飞行棋相比，规则要简单得多。棋盘上一共有从左到右$n$个格子，按$1$到$n$标号。$m$个玩家各持有一个棋子。棋子第一个到达第$n$格的玩家胜利。每个玩家轮流投掷$6$面的骰子，投出几点就把自己的棋子往右移动几步。当棋子被移动到某些格子时，棋子会被传送到其他格子。如果棋子被移动到第$i$格，若$a_i=i$，则棋子仍然在第$i$格；否则棋子会被传送到第$a_i$格。棋子每次按骰子投出的数字移动时，是一次性移动了若干格，即棋子不会在中途被传送走，只可能在移动完后被传送走。不同玩家的棋子之间互不影响。

现在小G告诉了你$m$个玩家棋子所在位置。现在开始按$1$号玩家到$m$号玩家的顺序依次扔骰子。小G想知道每个玩家获胜的概率。

算法标签：DP

思路：

因为其具有收敛性，所以当你局数足够多时，近似于得到答案。

令状态表示 $f[i][j]$ 表示初始位置在 $j$ 经过 $i$ 局恰好到 $n$ 的概率。依此枚举在某一轮我成功了其余都在我之后成功过的概率，得到答案。

以下代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define db double
#define _(d) while(d(isdigit(ch=getchar())))
using namespace std;
const db P=1.0/6.0;
const int N=170,M=550000;
int n,m,a[N],p[22],op;
db f[2][N],g1[M+2][22],g2[M+2][22],g[M+2][22];
il int read(){
   int x,f=1;char ch;
   _(!)ch=='-'?f=-1:f;x=ch^48;
   _()x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
   return f*x;
}
int main()
{
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=read();
    for(int i=n+1;i<=n+6;i++)a[i]=n;
    for(int i=1;i<=m;i++)p[i]=read();
    if(m==1){puts("1.000000");return 0;}
    f[0][n]=1.0;
    for(int i=1;i<=M;i++){
        op^=1;
        for(int j=1;j<=n;j++)f[op][j]=0;
        for(int j=1;j<n;j++){
            for(int k=1;k<=6;k++)
                f[op][j]+=f[op^1][a[j+k]]*P;
        }
        for(int j=1;j<=m;j++)g[i][j]+=f[op][p[j]];
        
    }
    for(int i=M;i;i--)for(int j=1;j<=m;j++)g[i][j]+=g[i+1][j];
    for(int i=1;i<=M;i++){
        g1[i][0]=g2[i][m+1]=1.0;
        for(int j=1;j<=m;j++)g1[i][j]=g1[i][j-1]*g[i][j];
        for(int j=m;j;j--)g2[i][j]=g2[i][j+1]*g[i][j];
    }
    for(int i=1;i<=m;i++){
        db ans=0;
        for(int j=1;j<=M;j++){
            ans+=g1[j+1][i-1]*g2[j][i+1]*(g[j][i]-g[j+1][i]);
        }
        printf("%lf
",ans);
    }
    return 0;
}