bzoj-4009&&dtoj#2284. 接水果(fruit)

题目描述：

风见幽香非常喜欢玩一个叫做 osu! 的游戏，其中她最喜欢玩的模式就是接水果。由于她已经 DT FC 了 The big black，她觉得这个游戏太简单了，于是发明了一个更加难的版本。

首先有一个地图，是一棵由 $n$ 个顶点、$n-1$ 条边组成的树（例如图 $1$ 给出的树包含 $8$ 个顶点、$7$ 条边）。这颗树上有 P 个盘子，每个盘子实际上是一条路径（例如图 $1$ 中顶点 $6$ 到顶点 $8$ 的路径），并且每个盘子还有一个权值。第 $i$ 个盘子就是顶点 $a_i$ 到顶点 $b_i$ 的路径(由于是树，所以从 $a_i$ 到 $b_i$ 的路径是唯一的)，权值为 $c_i$。接下来依次会有 $Q$ 个水果掉下来，每个水果本质上也是一条路径，第 $i$ 个水果是从顶点 $u_i$ 到顶点 $v_i$ 的路径。

幽香每次需要选择一个盘子去接当前的水果：一个盘子能接住一个水果，当且仅当盘子的路径是水果的路径的子路径（例如图 $1$ 中从 $3$ 到 $7$ 的路径是从 $1$ 到 $8$ 的路径的子路径）。这里规定：从 $a$ 到 $b$ 的路径与从 $b$ 到 $a$ 的路径是同一条路径。当然为了提高难度，对于第 $i$ 个水果，你需要选择能接住它的所有盘子中，权值第 $k_i$ 小的那个盘子，每个盘子可重复使用（没有使用次数的上限：一个盘子接完一个水果后，后面还可继续接其他水果，只要它是水果路径的子路径）。幽香认为这个游戏很难，你能轻松解决给她看吗？

输入：

第一行三个数 $n$ 和 $P$ 和 $Q$，表示树的大小和盘子的个数和水果的个数。 

接下来 $n-1$ 行，每行两个数 $a$、$b$，表示树上的 $a$ 和 $b$ 之间有一条边。树中顶点按 $1$ 到 $n$ 标号。 接下来 $P$ 行，每行三个数 $a$、$b$、$c$，表示路径为 $a$ 到 $b$、权值为 $c$ 的盘子，其中 $0 leq c leq 10^9, a eq b$。
 
接下来 $Q$ 行，每行三个数 $u$、$v$、$k$，表示路径为 $u$ 到 $v$ 的水果，其中 $u$ 不等于 $v$，你需要选择第 $k$ 小的盘子，第 $k$ 小一定存在。

输出：

对于每个果子，输出一行表示选择的盘子的权值。

数据范围：

对于所有数据，$N,P,Q leq 40000$。

算法标签：整体二分，树状数组，扫描线

思路：

考虑对于一个盘子两端为 $a,b$ ，如果两点的 $lca$ 不在路径的端点上，那么当水果的两端$x,y$的范围为

$dfn[a]le dfn[x]le end[a]$ && $dfn[b]le dfn[y]le end[b]$

时这个盘子的路径是水果的子路径。

如果lca在端点上，不妨令 $a$ 为深度小的点，那么我们倍增找到在 $a,b$ 路径上为 $b$ 的祖先， $a$ 的儿子的那个点 $w$ ，那么水果的两端 $x,y$ 的范围为

$ (1le dfn[x]le dfn[w]-1$ && $dfn[b]le dfn[y]le end[b] ) || ( dfn[b]le dfn[x]le end[b]$ & $end[w]+1le dfn[y]le n)$

时这个盘子的路径是水果的子路径。

盘子其实是一个矩形或者两个矩形。

所以我们可以将询问排序，进行整体二分，两维限制条件一维用树状数组维护，一维扫描线维护

以下代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define _(d) while(d(isdigit(ch=getchar())))
using namespace std;
const int N=8e4+5;
int dfn[N],ed[N],id,fa[N][20],d[N],ans[N];
int n,p,q,head[N],ne[N],to[N],cnt,tot,sum[N],g[N];
struct node{int l1,r1,l2,r2,v;}t[N];
struct data{int x,y,k,id;}poi[N],tmp1[N],tmp2[N];
struct kk{int x,l2,r2,v,id;}e[N<<1];
il int read(){
    int x,f=1;char ch;
    _(!)ch=='-'?f=-1:f;x=ch^48;
    _()x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
    return f*x;
}
bool cmp(node t1,node t2){return t1.v<t2.v;}
bool cmp1(kk t1,kk t2){
    return (t1.x<t2.x||(t1.x==t2.x&&t1.id<t2.id));
}
il void ins(int x,int y){
    ne[++cnt]=head[x];
    head[x]=cnt;to[cnt]=y;
}
il void dfs(int x){
    dfn[x]=++id;
    for(int i=1;fa[x][i-1];i++)fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
    for(int i=head[x];i;i=ne[i]){
        if(fa[x][0]==to[i])continue;
        fa[to[i]][0]=x;
        d[to[i]]=d[x]+1;dfs(to[i]);
    }
    ed[x]=id;
}
il int LCA(int x,int y){
    if(d[x]<d[y])swap(x,y);
    for(int i=18;i>=0;i--)if(d[fa[x][i]]>=d[y])x=fa[x][i];
    if(x==y)return x;
    for(int i=18;i>=0;i--)if(fa[x][i]!=fa[y][i])x=fa[x][i],y=fa[y][i];
    return fa[x][0];
}
il int jump(int x,int y){
    for(int i=18;i>=0;i--)if(d[fa[x][i]]>d[y])x=fa[x][i];
    return x;
}
il int query(int x){
    int ans=0;
    for(;x;x-=x&-x)ans+=g[x];
    return ans;
}
il void insert(int l,int r,int v){
    r++;
    for(;r<=n;r+=r&-r)g[r]-=v;
    for(;l<=n;l+=l&-l)g[l]+=v;
}
il void solve(int l,int r,int ql,int qr){
    if(ql>qr)return;
    if(l==r){
        for(int i=ql;i<=qr;i++)ans[poi[i].id]=t[l].v;
        return;
    }
    int mid=(l+r)>>1,sz=0;
    for(int i=l;i<=mid;i++){
        e[++sz]=(kk){t[i].l1,t[i].l2,t[i].r2,1,0};
        e[++sz]=(kk){t[i].r1,t[i].l2,t[i].r2,-1,n+1};
    }
    for(int i=ql;i<=qr;i++)
        e[++sz]=(kk){poi[i].x,poi[i].y,0,0,i};
    sort(e+1,e+1+sz,cmp1);
        
    for(int i=1;i<=sz;i++){
        if(ql<=e[i].id&&e[i].id<=qr)sum[e[i].id]=query(e[i].l2);
        else insert(e[i].l2,e[i].r2,e[i].v);
    }
    for(int i=1;i<=sz;i++)if(e[i].id==0||e[i].id==n+1)insert(e[i].l2,e[i].r2,-e[i].v);
    int a=0,b=0;
    for(int i=ql;i<=qr;i++){
        if(sum[i]>=poi[i].k)tmp1[++a]=poi[i];
        else tmp2[++b]=(data){poi[i].x,poi[i].y,poi[i].k-sum[i],poi[i].id};
    }
    for(int i=ql;i<=ql+a-1;i++)poi[i]=tmp1[i-ql+1];
    for(int i=ql+a;i<=qr;i++)poi[i]=tmp2[i-ql-a+1];
    solve(l,mid,ql,ql+a-1);solve(mid+1,r,ql+a,qr);
}
int main()
{
    n=read();p=read();q=read();
    for(int i=1;i<n;i++){
        int x=read(),y=read();
        ins(x,y);ins(y,x);
    }
    d[1]=1;dfs(1);
    for(int i=1;i<=p;i++){
        int a=read(),b=read(),c=read();
        int lca=LCA(a,b);if(dfn[a]>dfn[b])swap(a,b);
        if(lca!=a){
            t[++tot]=(node){dfn[a],ed[a],dfn[b],ed[b],c};
        }
        else{
            int w=jump(b,a);
            t[++tot]=(node){1,dfn[w]-1,dfn[b],ed[b],c};
            if(ed[w]<n)t[++tot]=(node){dfn[b],ed[b],ed[w]+1,n,c};
        }
    }
    sort(t+1,t+1+tot,cmp);
    for(int i=1;i<=q;i++){
        int x=read(),y=read(),k=read();
        if(dfn[x]>dfn[y])swap(x,y);
        poi[i]=(data){dfn[x],dfn[y],k,i};
    }
    solve(1,tot,1,q);
    for(int i=1;i<=q;i++)printf("%d
",ans[i]);
    return 0;
}