编程之美：2.21只考加法的面试题

《编程之美》 2.21只考加法的面试题

 

我们知道:

1+2 = 3；

4+5 = 9；

2+3+4 = 9。

等式的左边都是两个或两个以上连续的自然数相加，是不是所有的整数都可以写成这样的形式呢？

问题1：  对于一个64位正整数，输出它所有可能的连续自然数（两个以上）之和的算式。

问题2：  大家在测试上面程序的过程中，肯定会注意到有一些数字不能表达为一系列连续的自然数

之和，例如32好像就找不到。那么，这样的数字有什么规律呢？能否证明你的结论？

问题3： 在64位正整数范围内，子序列数目最多的数是哪一个？

问题一解法：双指针遍历

这题有两种解法， 其中一种便是双指针法，还有一种比较巧妙，利用了数学方法，简单来说是求出一个公式来。这里只说双指针的解法。

这里需要一个转化，把求n中所有可能的连续自然数之和归约为在数组{1,2,3,...,n}中找所有连续子序列和等于n的问题。这里同样也是这样一个场景：对有序数组如何遍历来求得符合要求的数据集合？这时的双指针可以不是一头一尾了，而是两个都指向头部，这样可以以高效的顺序遍历我们要找的所有集合。初始设i=j=1，这里同样会出现三种情况：

1. sum[i,j] == sum， 直接输出i到j的值，并把i+1,j+1,因为只是i+1肯定是不等的，因为和小了，同样j+1只会使和变大，所以两个都要往前加（注意这里指针不用考虑减小，因为这在以前就考虑过了）
2. sum[i,j] < sum，说明偏小，那么提高j来使得和变大才有可能相等
3. sum[i,j] > sum，说明偏大，那么提高i来使得和变小才有可能相等

这样，代码就出来了：

 

public static void GetAnswer(int n)
        {
            int i =0, j = 0;

            while (i <= (n / 2) && j <= n)
            {
                int sum = (j + i)*(j - i + 1) / 2;

                if (sum == n)
                {
                    for (int k = i; k <= j; k++)
                    Console.WriteLine(k);
                    i++;
                    j++;
                }
                else if (sum < n) //sum[i..j]<n,只能提高j以增大sum
                {
                    j++;
                }                    
                else //sum[i..j]>n,只能提高i以减小sum
                {
                    i ++;
                }
            }
        }

所谓双指针，是利用两个指针对一个有序数组进行遍历，查找出符合要求的数据集合。相信大家都接触到了这种思维模式的解题方法，只是没有注意到罢了。下面举几个例子吧。

　　例1：给定一个数组a[n]，求数组中是否存在两个数的和等于给定值sum并输出？

 

　　这个问题很常见，我当年在面试微软实习生的时候就被问到了此题，解决方法有很多种，这里我就不赘述，我讲的是用双指针遍历法的。首先数组不一定有序，对数组排序是必须的。那么便来到了这样一个场景：对有序数组如何遍历来求得符合要求的数据集合？双指针的解决方法如下：定义两个指针（i 和 j），分别指向数组头和尾，那么会出现如下三种情况：

 

1. 如果a[i]+a[j] == sum，那么很显然，只要输出这两个数，并把指针i+1和j-1指向下一个数即可。（这里不输出重复的组合）
2. 如果a[i]+a[j] > sum，说明当前遍历的数值偏大，所以可以把j-1以减小和的值，在继续比较。
3. 如果a[i]+a[j] < sum，说明当前遍历的数值偏小，同样为了加大和可以把i+1。

 

总的时间复杂度取决于排序即O(nlogn)。