最小割&网络流应用

重要链接

基础部分链接 ： 二分图 & 网络流初步

zzz大佬博客链接 ： 网络流学习笔记

重点内容：最小割二元关系新解(lyd's ppt)

题目：网络流相关题目

lyd神犇课件链接 ： 网络流模型设计lyd（提取码：m5sd）

国家集训队2007胡伯涛论文 ： 算法合集之《最小割模型在信息学竞赛中的应用》

最详细（也可能现在不是了）网络流建模基础

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对于网络流的基础部分以及其在二分图方面的应用，详见上面的第一个链接。

先 Copy 下重点：

最小割

最大流等于最小割。

如何找到最小割的割边？

1. 从S开始沿着残量网络BFS，把能到达的点标记上。

2. 连接已标记的点和未标记的点的正向边为该网络的一个最小割集。（-by lyd大佬）

如何找最小割的必须边？

1. 从S开始BFS跑残量网络。

2. 从T开始反向BFS跑残量网络。

3. 枚举从S指向T的满流边，这些边即为必须边

如何找某种情况的最小割的可行边？

1. 满流

2. 删掉后找不到u -> v的路径

于是：残余网络中tarjan跑SCC, (u, v)的u, v都在同一SCC中说明存在残量网络u -> v的路径 -by lyd大佬

网络流常用思想：点边转化思想

拆点：

把点拆成入点和出点，两点间边权为点权。或者拆成有两个特殊含义的点。

拆边：

对于边权比较复杂的问题（比如和第几种情况、之前选用该点次数等有关，但不管怎样都会选最小的情况作为代价），把所有情况分解成某几条边上的权值和。（类似于二进制拆分多重背包？）

如: #6068. 「2017 山东一轮集训 Day4」棋盘 ；还有P4307 [JSOI2009]球队收益 / 球队预算

注意！

• dinic的弧优化记得加，记得初始化！！别忘了s、t的初始化！！+1

• 一定要连反向边！！！！！

• 费用流注意一下 (vis) 的适用情况

以上为开头链接部分内容。

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以下为正文。

Part 1

网络流模型设计lyd（提取码：m5sd）

（从第八页开始，前七页在前面有说过）

动态加点

例题：P2050 [NOI2012]美食节

题意 ： n 个菜，每个菜有 (p_i) 个人（互不相同）选； (m) 位厨师， (j) 厨师做 (i) 菜的时间为 (t_{i, j})。求最小等待总时间。

(n <= 40; m <= 100; sum p <= 800)

建议先做一下简化版：P2053 [SCOI2007]修车

利用费用提前计算等思想，我们发现 (j) 厨师对答案的贡献是： (sum{i * t[x_i][j]})，其中 (x_i) 为交付给 (j) 厨师的第 (i) 个人选择的菜。

然后我们的思路是把每个厨师拆成 (sum p_i) 个点，代表每个厨师要做的（倒数）第 (i) 个菜的相关费用。（这样费用便于计算），然后再搞一搞，用最小费用最大流跑一跑。

然后复杂度会炸掉。

我们发现肯定不会每个厨师都做 (sum p_i) 道菜，直观的想法是，谁做菜快（受到众人的青睐）就多给他一些机会。

具体来说，就是动态加点。先按照最小费用（第一次的最短路）跑他一跑，发现谁备受青睐（都选他，即他连向汇点的边都满流），就给他再开一个做饭的位置，给他多做一道菜的机会。然后重复。最后一直跑到最大流为 (sum p_i) 为止（所有菜都做完了）。

(Code:)my record

平面图与对偶图

经典例题 ： P4001 [ICPC-Beijing 2006]狼抓兔子

平面图 ：

一张无向网络，能够在一张纸上画出来，并且边不交叉。

网格图是特殊的平面图。

一张平面图的对偶图

将平面图在纸上画出来，并且将源点与汇点用另外一条边相连。发现一张纸被平面图的边分成了好几部分。将这几部分用带编号的点来表示，原图的边（不含后来加的源点到汇点的边）转化成其两侧的区域点的连边。

平面图的最小割 等于 其对偶图的最短路

跑从对偶图中的 (S') -> (T')的路径，发现每条路径都将原网络分割成两部分（即源汇分开），是一种割。因此平面图的最小割 = 对偶图的最短路。

这样，(O(n^2m))（假）就有望优化成 (O(nlogn))（(dijkstra))。

(Code:)my record

加强 : 有向网格图的平面图与对偶图

例题：P2046 [NOI2010]海拔

这回我们每条边有了两个不同的权值。其实和之前差不多，只不过当时我们理直气壮地把每条边直接当作两条边处理，这回我们要区别这两条边了。

通过画图可知，对于网格图的对偶图来说，（原图中）从坐上走到右下的最小割，就相当于（对偶图中）从坐下走到右上。那么我们直接把所有（原图的）边都逆时针旋转 (90) °，就是对偶图上的边。

具体来说，原图中的每条边，就相当于（对偶图中）从它的右侧穿越到它的左侧。据此建图即可。

如果有些边根本就没有呢？那么就说明这些边不用花费任何代价就可以被割断，设置一些流量为0 的边即可。

拓展 ： 给出平面图，求对偶图

最小左转法

给出平面图上的一些点的坐标，还有连接其中某些点的边（含边权），求其对偶图。

关键在于求出所有小区域，需要高超的计算几何技巧。

（直接Copy）

原图中的每条线段看做双向向量。
• ① 任选一条未被标记的向量u→v。
• ② 找到与向量v→u逆(或顺)时针方向夹角最小的向量v→w。
• ③ 如果v→w已被标记，转到④；否则将它标记，令v=w, u=v，重复②。
• ④ 重复①~③，直至所有向量都被标记。
• 每次到达④，都会找到一个区域。通过记录每个区域的边，计算它的面
积正负，可以判断它是内部区域，还是外部的无限大区域。


• 如何求与向量v→u逆时针方向夹角最小的向量？
• 两种需要更新答案v→p的情况：
• v→p在v→u的顺时针方向（vu × vp<0）
并且v→w在v→u的逆时针方向（vu × vw>0）
• v→p和v→w在v→u同侧
并且v→w在v→p的顺时针方向（vp × vw<0）

例题：

P3249 [HNOI2016]矿区

建对偶图 + 生成树

#2965. 保护古迹

点被围起来 = 点不与最外面联通

因此建立对偶图，暴力枚举点集，求最小割。

多源点最小割？超级源点！

#2960. 跨平面

建对偶图 + （无根）最小树形图。

不错的计算几何题。

最大权闭合子图

一张有向无环图，点有点权（可能为负），对于边 ((u, v))，如果选择 (u) ，就必须选择 (v)。求所选的点的最大权值和。

方法

对于所有点权为正的点 (u)，我们连((s, u, val[u]))；对于点权为负的点 (v)，我们连 ((v, t, -val[v]))；对于边 ((u, v))，我们连 ((u, v, inf))。求最小割，正点权和减去最小割即为答案。

对于环，需要特殊处理（如缩点等等）。

理解与证明

首先我们先选上所有正点权。为了满足边的要求，我们要选择一些负点权，或者抛弃一些正点权。

建好图后，如果我们割掉正点和 (S) 之间的边，而把正点权归为 (T) 那边，则说明我们放弃了正点；如果我们割掉负点和 (T) 之间的边，而把负点归到 (S) 那边，说明我们要选择这个负点。

因此，方案为 ： 从 (S) 开始 (dfs)，标记能经过的点。这些能经过的点即为我们选择的点。

最大密度子图

一张无向图，点有点权，边有边权。选出其中的一个子图，使得 点权之和与边权之和的比值最小（即 边权和与点权和的比值最大）。输出点权之和与边权之和的比值。

前置技能：01分数规划

二分点权与边权的比值为 (d)。那么我们的任务是最小化 (sum_{p}val_p - d * sum_eval_e)，查看是否为正。

如果我们把每条边看作一个点，那么我们选择这条边就要获得 (- d * val_e) 的代价（点权）；选择一个（原图）点，就要获得 (val_p) 的代价（点权）。并且要求选择边就一定要选择边两边的点。

然后成功转化为最大（小）权闭合子图的问题。

复杂度：约(O((n + m)^3))。

算法改进

我们希望尽量少的让复杂度与 (m) 相关。

考虑二分后最后选出的那个子图（子图上的点记作黑点），如果我们知道子图的点是哪些，那么我们一定会选出黑点与黑点相连的所有边。这些边与子图上的点称之为诱导子图。答案为：

[ans = sum{val_p} - d * sum{val_e} ]

[= sum_p{val_p} - frac{d}{2} * ({sum_{(p, q), p~is~black}{val_{p, q}}} - sum_{(p, q), p~is~black, q~is~wight}val_{p, q}) ]

其中中间的那个求和式我们可以预处理出来，成为与点权有关的式子，记之为 (sum[p])；最右面的那个求和式即为最小割。

我们将所有点与 (S) 连边((S, p, val[p] - d / 2 * sum[p]))，(原图中的）边连为双向边 ((u, v, 1 / 2 * val_{u, v}))，然后求最小割得:(mincut)

至于如何处理负数流量，以及如何处理分数，下面“最小割二元关系新解”部分会有讲解。

答案即为 (mincut)。

方案：某点如果与 (S) 的连边为割边，则该点被选。

Continued...

混合图欧拉回路

一张图中既有无向边，也有有向边，求是否有经过每条边恰好一次的回路。

（无向图欧拉回路、有向图欧拉回路可以通过度数（或入度、出度关系)来直接判断。）

混合图欧拉回路可以变成：是否存在一种无向边定向方案，使得每个点的入度等于出度。

如果我们先把无向图随意定向，那么会出现某些点入度出度不等的情况。（当然，如果某个点的出入度之和为奇数，则一定无方案）但是，我们可以通过对一些无向边的方向进行反悔，来修改每个点的出入度关系。

一条无向边被定为(u -> v)，它有机会改成(v -> u)，使得 u 的出入度之差减二， v 的出入度之差加二。

因此我们设 (D[cur] = frac{ind[cur] - outd[cur]}{2})，并且先将无向边 ((u, v)) “连”（原图中)成 ((u -> v))，并且连一条反悔边 ((v -> u, val = 1))，表示反悔将使 (D[u]--,D[v]++)。有向边按题意连，同时维护 (D)。最终如果 (D) 出现小数，说明无合法方案；否则 (S ->) 正数 (D)，负数 (D -> T)（不难，好好想想）。

然后跑最大流。如果可以满流（最大流等于所有正数节点的权值之和），那么说明至少存在一种方案，能够使得该图为欧拉回路。

实际上最快的理解方式就是举个简单的例子，寻找正确的方法。

无源汇有上下界可行流

rt

首先把下界强行跑满，但是可能会不符合网络流的流量守恒的性质。

根据入与出的差值，如果某个点入过多，那么就给它找个出的机会，就是来自 (S) 的帮助；反之，如果出过多，就给它找到个入的机会，就是来自 (T) 的帮助。

因此，我们将入过多的点与 (S) 相连，出过多的点与 (T) 相连，剩余的边的边权为原图的 (max - min)。然后跑最大流，能满流就说明可行。

可行的方案为跑完最大流后的（除去 (S) 和 (T)）网络（加上下届）。

无源汇有上下界最小费用可行流

例题： P3980 [NOI2008]志愿者招募

由于下界是必须选的，因此下界必须的费用是一定会对答案造成贡献的。剩下的对答案的贡献为 ： 为了流量守恒，不得不流动的流量，出现在最后的跑最大流中。因此最后我们在连向 (S) 或 (T) 时，将边费用设置为 0.然后跑最小费用最大流，最后两部分总和即为答案。

最小/大费用循环流

例题1：UVA1659 帮助小罗拉 Help Little Laura

例题2：T134939 Tree

这里的循环流指的是：无源汇，容量无下界有上界，边有费用，需要满足流量守恒。求一股循环流满足以上条件，且费用最小。

还是常见的套路（以最小费用最大流为例）：首先把负边权给强制选上（为了更优，同时避免负环），不过注意要留“后路”，即返回边。这样的话虽然费用尽可能的少了，但是“流量守恒”可能就不符合了。于是我们可以利用S和T调节一下，使得流量守恒，又要尽可能少地花费。这一步就是普通的MCMF了。

即：正边 ((u, v, w, f)) 照常连，负边((u, v, w, f)) 先让答案加上个(w * f)，然后连边：((u, t, w, 0), (s, v, w, 0), (v, u, w, -f))，跑最小费用最大流。最终答案就是一开始加的那些(w * f) 再加上后来跑的最小费用。

有源汇有上下界可行流

rt

实际上这个更常考些， 如: Budget 和 Shoot the Bullet

有源汇的网络流，源汇可以不满足流量守恒，源点可以随便流出，汇点可以随便流入。于是我们将其连边（ (T) -> (S)），上下界设置为 ([0, +∞])。然后就是无源汇有上下界网络流。

有源汇有上下界最大流/最小流

其实都可以用二分来做。

最大流 ： 求完可行流后，从(s)（原源点） 到 (t) （原汇点）求一遍最大流（只经过原图的点，跑余量网络），(ans += mxflow)。

最小流 ： 求完可行流后，从(t)（原汇点） 到 (s) （原源点）求一遍最大流（只经过原图的点，跑余量网络）， (ans -= mxflow)。（lyd说填充循环流，并不太懂）

有源汇有上下界最小流还有一种更简洁的方法：可以先不 (t) -> (s)，跑一个“无源汇”有上下界可行流，这时候所有循环流都已经填满，然后我们再 (t) -> (s)，再跑一遍“无源汇”有上下界可行流，这时 (t) -> (s) 的流就是不得不跑的最小流

有源汇有上下界最小费用可行流

基本上所有的“最小费用”都是将 bfs 改成 spfa，在费用最小的前提下达到限制条件。

例题：#2226. 「AHOI2014」支线剧情

习题

P3980 [NOI2008]志愿者招募

P4553 80人环游世界

最小割二元关系新解

见链接。

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Part 2

国家集训队2007论文集7.胡伯涛《最小割模型

还是直接看论文吧（尽管看不懂）

满流边不一定是最小割！！

基于定义的直接应用

例题：网络战争

题意：给一张无向图，边有边权，有源点 (S) 和汇点 (T)。最小化：

[frac{sum_{e}w_e}{|C|} ]

其中 (C) 为使 (S) 与 (T) 分开的割集， (e) 为割集中的边。

直接除法不是很好做。发现答案具有单调性。我们可以二分答案 (d)，然后 (che()) 函数就是要判断：

[frac{sum_{e}w_e}{|C|} >= d ]

即

[sum_{e = (u, v)}{w_e - d} >= 0 ]

然后以新边权为容量，求最小割即可。

容量为负？那选他一定更优（管他在不在割集里面），直接把它割掉（即不加这条边或设置其容量为0）统计答案。剩下的正权边再跑最小割。

例题 ： SP839 OPTM - Optimal Marks

版本二提交处：bzoj2400

题意：

给你一个无向图G（V，E）。 每个顶点都有一个int范围内的整数的标记。 不同的顶点可能有相同的标记。

对于边（u，v），我们定义:

[Cost(u, v) = mark[u] xor mark [v] ]

现在我们知道某些节点的标记了。你需要确定其他节点的标记，以使边的总成本尽可能小。在此条件下，要求点的标记总和尽可能小。 在这两个条件下，你可以输出任意一种合法的方案，以及边的总成本和最小的点权和。

自己想出来的为数不多的最小割题，尽管TLE and WA 调到飞天。。。

发现 (xor)，并且各位之间互不干扰，因此可以针对每一个二进制位做。

然后有点像“最大权闭合子图”？总之就是未知的点选一或者选0，要求最终边权和最小。

发现从已知的 1 走到 0，期间至少要经过一条对答案有贡献的边。或者说，我们要将点集分成两类“块”，1和0属于不同的“块”内。我们要做的是选出一些点，使得“1块”和“0块”不连通，并要求“边界”最少。然后就很像最小割了。

将 (S) 向 "1点"连 inf 边， "0点" 向 (T) 连 inf 边，原图中的边为 1 边。求最小割。然后从 (S) 出发dfs，遍历到的点为我们选择的 1 点。

为什么这样做点权和最小呢 ？

点权和可以拆成每一位对答案的贡献。要求我们在做每一位时，点权和一定最小，也就是说，希望dfs到尽可能少的点。因为我们总是一遇到满流边就停止了，因此我们走到的是 (S) 所在的“最小区域”。

举个例子：

S --(inf)--> 1 --(1)--> 2 --(1)--> 3 --(1)--> 4 --(1)--> 5 --(inf)--> T

这张图你随便认为最小割是哪一个，反正我们从 (S) 出发，只走到了 1。

Continued...

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一些（许多）例题+习题