Gcd HYSBZ

Gcd

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题意

求 (gcdleft(x，y ight) = p) 的对数，其中(1 leq x,y leq n)且 (p)是质数

思路

(gleft(x ight)) 表示 (gcdleft(a, b ight) | x) 的对数
(fleft(x ight)) 表示 (gcdleft(a, b ight) = x) 的对数
根据莫比乌斯反演有

[ fleft(n ight) = sum_{n|d} gleft(d ight)\ gleft(n ight) = sum_{n|d} muleft(frac{d}{n} ight) fleft(d ight) \ ]

根据题意

[ fleft(x ight) = lfloorfrac{n}{x} floor lfloorfrac{n}{x} floor \ ]

那么就可以得到

[egin{aligned} ans &= sum_{prime(p)} gleft(p ight) \ &= sum_{prime(p)} sum_{p|d} muleft(frac{d}{p} ight) lfloorfrac{n}{d} floor lfloorfrac{n}{d} floor \ end{aligned} ]

对于每个 (d)，找到所有满足 (p|d) 的 (prime(p))，预处理出 (sum_{p|d}muleft(frac{d}{p} ight))。

• 如果 (d) 是质数，容易得到 (sum[d] = 1)。
• 如果 (d) 不是质数，那么可以把 (d) 看成 (p_{1}^{a1}p_{2}^{a2}...p_{k}^{ak})，设 (d = p_{1}x)

[egin{aligned} sum_{p|d} muleft(frac{d}{p} ight) &= muleft(frac{d}{p_{1}} ight)+muleft(frac{d}{p_{2}} ight)+...+muleft(frac{d}{p_{k}} ight)\ &= muleft(x ight) + muleft(frac{p_{1}x}{p_{2}} ight)+...+muleft(frac{p_{1}x}{p_{k}} ight) \ sum_{p|x}muleft(frac{x}{p} ight) &= muleft(frac{x}{p_{2}} ight)+...+muleft(frac{x}{p_{k}} ight) end{aligned} ]

因为(p_{k}|d，d=p_{1}x)，则 (p_{k}|x)。那么现在的问题就在于 (p_{1}|x)。
(quad) 1. 若 (p1|x)，则对于 (left(frac{p_{1}x}{p_{k}} ight))，可以发现除完以后，仍然会包括两个及以上 (p_{1}) 因子，所以其 (mu) 值为(0)。
(quad) 2. 反之，(left(frac{p_{1}x}{p_{k}} ight)) 在 (left(frac{x}{p_{k}} ight))的基础上多了一个 (p_{1}) 因子且指数为 (1)，根据 (mu) 的公式，(muleft(frac{p_{1}x}{p_{k}} ight) =- muleft(frac{x}{p_{k}} ight))。
综合上述

[sum_{p|d} muleft(frac{d}{p} ight) = egin{cases} muleft(x ight) & p_{1}|x\ muleft(x ight) - sum_{x|d} muleft(frac{x}{p} ight) &otherwise\ end{cases} ]

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    > File Name    : a.cpp
    > Author       : Jiaaaaaaaqi
    > Created Time : 2019年07月17日 星期三 10时20分16秒
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#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define  lowbit(x)  x & (-x)
#define  mes(a, b)  memset(a, b, sizeof a)
#define  fi         first
#define  se         second
#define  pii        pair<int, int>

typedef unsigned long long int ull;
typedef long long int ll;
const int    maxn = 1e7 + 10;
const int    maxm = 1e5 + 10;
const ll     mod  = 1e9 + 7;
const ll     INF  = 1e18 + 100;
const int    inf  = 0x3f3f3f3f;
const double pi   = acos(-1.0);
const double eps  = 1e-8;
using namespace std;

ll n, m;
int cas, tol, T;

int pri[maxn], mob[maxn];
bool ispri[maxn];
ll sum[maxn];

void handle() {
	mes(sum, 0), mes(pri, 0), mes(ispri, 1);
	tol = 0;
	mob[1] = 1;
	int mx = 1e7;
	for(int i=2; i<=mx; i++) {
		if(ispri[i]) {
			pri[++tol] = i;
			mob[i] = -1;
			sum[i] = 1;
		}
		for(int j=1; j<=tol && i*pri[j]<=mx; j++) {
			ispri[i*pri[j]] = false;
			if(i%pri[j] == 0) {
				mob[i*pri[j]] = 0;
				sum[i*pri[j]] = mob[i];
				break;
			} else {
				mob[i*pri[j]] = -mob[i];
				sum[i*pri[j]] = mob[i] - sum[i];
			}
		}
	}
}

int main() {
	handle();
	printf("%lld %lld %lld
", sum[12], sum[6], mob[6]);
	scanf("%lld", &n);
	ll ans = 0;
	for(ll d=2; d<=n; d++) {
		ans += 1ll*sum[d]*(n/d)*(n/d);
	}
	printf("%lld
", ans);
	return 0;
}