一维树状数组
我学习的版本是这样的
区间修改：
我们假设sigma(r，i)表示r数组的前i项和，调用一次的复杂度是log2(i)
设原数组是a[n]，差分数组c[n]，c[i]=a[i]-a[i-1]，那么明显地a[i]=sigma(c,i)，如果想要修改a[i]到a[j](比如+v)，只需令c[i]+=v,c[j+1]-=v
区间查询：
在基于树状数组的基础操作：单点修改、区间查询上，我们可以这样操作
首先观察
a[1]+a[2]+...+a[n]
= (c[1]) + (c[1]+c[2]) + ... + (c[1]+c[2]+...+c[n])
= n*c[1] + (n-1)*c[2] +... +c[n]
= n * (c[1]+c[2]+...+c[n]) - (0*c[1]+1*c[2]+...+(n-1)*c[n]) (式子①)
那么我们就维护一个数组c2[n]，其中c2[i] = (i-1)*c[i]
每当修改c的时候，就同步修改一下c2，这样复杂度就不会改变
那么
式子①
=n*sigma(c,n) - sigma(c2,n)
于是我们做到了在O(logN)的时间内完成一次区间和查询
#include<iostream> #include<cstdlib> #include<cstdio> #include<algorithm> #define N 3010 using namespace std; int n,q,num[N],c1[N],c2[N]; inline int lowbit(int x){ return (x&-x); } inline int add(int *r,int u,int del){ for(int i=u;i<=n;i+=lowbit(i)) r[i]+=del; } inline int sum_(int *r,int v){ int sum=0; for(int i=v;i;i-=lowbit(i)) sum+=r[i]; return sum; } inline void Jimmy(){ scanf("%d%d",&n,&q); for(int i=1;i<=n;i++){ scanf("%d",&num[i]); add(c1,i,num[i]-num[i-1]); add(c2,i,(i-1)*(num[i]-num[i-1])); } for(int i=1,type;i<=q;i++){ scanf("%d",&type); if(type==1){ int u,v; scanf("%d%d%d",&u,&v,&w); add(c1,u,w);add(c1,v+1,-w); add(c2,u,(u-1)*w);add(c2,v+1,v*(-w)); } if(type==2){ int u,v; scanf("%d%d",&u,&v); int sum1=(u-1)*sum_(c1,u-1)-sum_(c2,u-1); //sigma(u-1) int sum2=v*sum_(c1,v)-sum_(c2,v); //sigma(v) printf("%d ",sum2-sum1); } } } int main(){ Jimmy(); return 0; } 区间修改 区间查询
学完本来高高兴兴
然后一看二维树状数组
那我二维怎么把一个点差分成一个2维的i*j啊
然后就懵逼了
所以这种办法虽然是正确的，但是不利于推广
所以接下来介绍一下另一种可以推广的姿势的树状数组区间修改+区间查询的办法
然后，转载一篇dalao的博客 http://aireenye.leanote.com/post/BIT
orzAireen ，这种树状数组理解完一维就可以轻松推广到二维
#include<iostream> #include<csdtlib> #include<cstdio> #include<algorithm> #define N 3010 using namespace std; struct Bit{ int s[N]; inline int lowbit(int x){ return x&-x; } inline void add(int x,int del){ if(!i) return; for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) s[i]+=del; } inline int sum(int x){ int ret=0; for(int i=x;i;i-=lowbit(i)) ret+=s[i]; return ret; } }; struct bit{ Bit a,ai;int s[N]; inline void init(){ for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&s[i]); for(int i=1;i<=n;i++) s[i]+=s[i-1]; } inline void add(int l,int r,int del){ a.add(l,del);a.add(r+1,-del); ai.add(l,del*l);ai.add(r+1,-del*(r+1)); } inline void sum(int l,int r){ return s[r]+a.sum(r)*(r+1)-ai.sum(r)-(s[l-1]+a.sum(l-1)*l-ai.sum(l-1)); } }; inline void Jimmy(){ } int main(){ Jimmy(); return 0; }
#include<iostream> #include<cstdlib> #include<cstdio> #include<algorithm> using namespace std; struct Bit_2D{ int s[N][N]; inline int lowbit(int x){ return x&-x; } inline void add(int x,int y,int del){ for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(x)) for(int j=y;j<=n;j+=lowbit(x)) s[i][j]+=del; } inline int sum(int x,int y,int del){ int ret=0; for(int i=x;i;i-=lowbit(i)) for(int j=y;j;j-=lowbit(j)) ret+=s[i][j]; return ret; } }s; struct bit_2D{ Bit_2D a,ai,aj,aij;int s[N][N]; inline void init(){ for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) scanf("%d",&s[i][j]); for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) s[i][j]+=s[i][j-1]; for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) s[i][j]+=s[i-1][j]; } inline void Add(int x,int y,int del){ a.add(x,y,del);ai.add(x,y,del*x);aj.add(x,y,del*y);aij.add(x,y,del*x*y); } inline void add(int x,int y,int del){ Add(x,y,del);Add(x,y+1,-del);Add(x+1,y,-del);Add(x+1,y+1,del); } inline int Sum(int x,int y){ return s[x][y]+a.sum(x,y)*(x+1)*(y+1)-ai.sum(x,y)*(y+1)-aj.sum(x,y)*(x+1)+aij.sum(x,y)*x*y; } inline int sum(int a,int b,int c,int d){ return Sum(c,d)-Sum(a-1,d)-Sum(c,b-1)+Sum(a-1,b-1); } }s; inline void Jimmy(){ } int main(){ Jimmy(); return 0; }
Δx表示区间[x,n]的共同增量.
利用的差分的思想,对于区间[l,r],每次修改Δl,Δr+1即可.
这就解决了区间加的问题.
考虑求和,ax=a′i+∑xi=1Δi
sx=∑i=1xai=∑i=1xa′i+∑i=1x(x−i+1)Δi=∑i=1xa′i+∑i=1xΔi×(x+1)−∑i=1xΔi×i
所以只需维护Δi,Δi×i的前缀和即可.