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  • 【多视图几何】TUM 课程 第2章 刚体运动

    课程的 YouTube 地址为:https://www.youtube.com/playlist?list=PLTBdjV_4f-EJn6udZ34tht9EVIW7lbeo4 。视频评论区可以找到课程所使用课件与练习题的下载地址。

    课程第2章从李群与李代数的角度介绍三维空间的刚体运动。李群即常见的旋转矩阵、变换矩阵,李代数与李群对应,李代数 (se(3)) 是所有三维反对称阵的集合。

    将李代数映射到李群,使得旋转与变换可微,并且消除了旋转矩阵的约束条件($ R^TR = I, det(R) = 1 $)对优化的约束,能够在无约束条件下进行位姿的优化。

    1. 三维空间与刚体运动

    三维空间是三维欧几里德空间(Euclidean Space)的简称,一般使用笛卡尔坐标系(Cartesian Coordinate System
    )描述欧式空间中的点,笛卡尔坐标描述是 $ (x, y, z) in mathbb{E}^3 $ 的形式,这种形式可以用 (mathbb{R}^3) 定义。

    于是使用三维向量 $ mathbb{R}^3 $ 描述一个三维点坐标 $ mathbb{E}^3 $。本笔记使用 (mathbb{R}^3) 替代 $ mathbb{E}^3 $,严格意义上将 (mathbb{E}^3) 是笛卡尔坐标,$ mathbb{R}^3 $ 是三维向量。

    1.1 叉乘与反对称阵

    叉乘(Cross Product)是将两个三维向量映射到一个三维向量:

    [ imes : mathbb{R}^3 imes mathbb{R}^3 ightarrow mathbb{R}^3 : u imes v = egin{bmatrix} u_2v_3 - u_3v_2 \ u_3v_1 - u_1v_3 \ u_1v_2 - u_2v_1 end{bmatrix} in mathbb{R}^3 ]

    叉乘可以可以转化为一个矩阵与向量点乘的形式,方便计算:

    [u imes v = hat{u} cdot v, hat{u} = egin{bmatrix} 0 quad -u_3 quad u_2 \ u_3 quad 0 quad -u_1 \ -u_2 quad u_1 quad 0 end{bmatrix} ]

    1.2 刚体运动

    刚体运动是三维坐标到三维坐标的映射:

    [g_t : mathbb{R}^3 ightarrow mathbb{R}^3; X mapsto g_t(X), t in [0, T] ]

    $ t $ 是时刻。

    刚体运动保持范数(norm)与叉乘不变:

    [| g_t(v) | = | v |, forall v in mathbb{R}^3 ]

    [g_t(u) imes g_t(v) = g_t(u imes v), forall u, v in mathbb{R}^3 ]

    由以上两个性质与极化恒等式(Polarization Identity)可知刚体运动也保持内积不变。三重积(Triple Product)也是保持变不变,三重积的几何意义是三个向量表示的平行六面体的体积,所以刚体运动保持体积不变。

    [<g_t(u), g_t(v) imes g_t(w)> = <u, v imes w> ]

    刚体运动可以表示为:

    [g_t(x) = Rx + T ]

    2. 李群与李代数

    2.1 旋转矩阵的导数

    在任意时刻的旋转矩阵都是正交的,$ R(t)R^T(t) = I, forall t $,对这个式子左右求导:

    [{d over dt}(RR^T) = dot RR^T + R {dot R}^T = 0 Rightarrow dot RR^T = -(dot RR^T)^T ]

    所以 (dot RR^T) 是一个反对称阵,所以在任意时刻存在一个向量 (w(t) in mathbb{R}^3) 与 $ dot RR^T $ 对应:

    [dot R(t)R^T(t) = hat w(t) Leftrightarrow dot R(t) = hat w R(t) ]

    上式表明了任意时刻 $ t $ 的旋转矩阵 (R(t)) 的导数 (dot R(t)) 的计算方法——用一个反对称阵左乘旋转矩阵 (R(t))

    0时刻的旋转矩阵 $ R(0) = I $,在0时刻附近展开:

    [R(dt) = R(0) + dR = I + hat w(0) dt ]

    2.2 李群 (SO(3)) 与李代数 (so(3))

    李群(Lie Group)指连续可微的群,三维空间的旋转是连续的,所以特殊正交集 (SO(3)) 是三维旋转李群对应的矩阵表示。连续是关键。

    Def.: A Lie group (or infinitesimal group) is a smooth manifold that is also a group, such that the group operations multiplication and inversion are smooth maps.

    $ SO(3) $ 中的微分可以使用反对称阵逼近,反对称阵所在的群叫做李代数(Lie Algebra):

    [so(3) equiv left{ hat w ight. left| w in mathbb{R}^3 ight} ]

    李代数是李群在 (I) 处的切空间(Tangent Space)。$ I $ 对应的是0时刻,以0时刻为基准,认为0时刻不存在旋转。

    2.2.1 指数映射

    前面推导得到了 $ dot R(t) = hat w R(t) $ 的结论,解微分方程

    [egin{cases} dot R(t) = hat w R(t) \ R(0) = Iend{cases} ]

    得到

    [R(t) = e^{hat w t} = Sigma_{n = 0}^{infty}{ {(hat w t)}^n over n !} = I + hat w t + {{(hat w t)}^2over 2!} + dots ]

    当 $ |w| = 1 $ 时 (R(t)) 是绕着轴 $ w in mathbb{R}^3 $ 的旋转,如果将时间 (t) 写入到 (hat w) 中($ hat w = hat w t $),这样就得到了从李代数到李群的映射:

    [exp: so(3) ightarrow SO(3); hat w mapsto e^{hat w} ]

    2.2.2 对数映射

    对数映射是将指数映射的逆映射,是从李群 $ SO(3) $ 到李代数 $ so(3) $ 的映射, 可以表示为

    [log: SO(3) ightarrow so(3); R mapsto hat w ]

    当 $ R e I $ 时,

    [|w| = {cos}^{-1}left. ight({trace(R) - 1over 2}left. ight), {w over | w |} = {1 over sin(|w|)} egin{bmatrix} r_{32} - r_{23} \ r_{13} - r_{31} \ r_{21} - r_{12} end{bmatrix} ]

    当 $ R = I $ 时,$$ w = 0 $$

    2.2.3 罗德里格公式

    指数映射部分将 (R(t)) 用一无穷级数表示,如何求取这个无穷级数呢?这就需要用到罗格里格公式(Rodrigues' Rotation Formula),对于 $ hat w in so(3) $:

    [e^{hat w} = I + {hat w over | w |}sin(| w |) + {hat w^2 over | w |^2}(1- cos(| w |)) ]

    2.3 李群 (SE(3)) 与李代数 (se(3))

    $ SE(3) $ 表示刚体运动,包括旋转和平移,在齐次坐标下定义为:

    [SE(3) equiv left{ g = egin{bmatrix} R quad T \ 0 quad 1 end{bmatrix}left. ight| R in SO(3), T in mathbb{R}^3 ight} subset mathbb{R}^{4 imes 4} ]

    旋转矩阵求导能够直接得出旋转矩阵的导数 $ dot R(t) = hat w R(t) $,但 $ SE(3) $ 不具有这种性质,为了保持表达形式的一致,仿照 (SO(3))(so(3)) 定义 (se(3))

    $ g $ 是刚体变换映射:

    [g: mathbb{R} ightarrow SE(3); g(t) = egin{bmatrix} R(t) & T(t) \ 0 & 1 end{bmatrix} in mathbb{R}^{4 imes 4} ]

    $ g $ 是一个 (4 imes 4) 的矩阵,但是并不是一个正交阵,不具备 $ g g^T = I $ 的性质,但是作为一个可逆矩阵 $ gg^{-1} = I Rightarrow dot g g^{-1} = (dot g g)^{-1}$,然后就如下考虑:

    [dot g (t) g^{-1}(t) = egin{bmatrix} dot R R^T & dot T - dot R R^T T \ 0 & 0end{bmatrix} in mathbb{R}^{4 imes4} ]

    前面 $ SO(3) $ 部分可知 $ dot R R^T = hat w, hat win so(3) $,定义一个新的向量 $ v(t) equiv dot T(t) - hat w(t)T(t) $,于是有:

    [dot g (t) g^{-1}(t) = egin{bmatrix} hat w(t) & v(t) \ 0 & 0end{bmatrix} equiv hat xi(t) in mathbb{R}^{4 imes4} ]

    进一步求 (dot g)

    [dot g = dot g g^{-1}g = hat xi g ]

    公式中的 (hatxi) 称作 twist (twist 有旋转运动加平移运动的意思,可查 Screw Theory)。

    (se(3)) 的定义:

    [se(3) equiv left{ hat xi = egin{bmatrix} hat w & v \ 0 & 0 end{bmatrix} left. ight| hat w in so(3), v in mathbb{R}^3 ight} subset mathbb{R}^{4 imes 4} ]

    $ hat xi $ 是 twist,$ xi in mathbb{R}^6 $ 称作 twist coordinates,两者的完整定义如下:

    [hat xi equiv { egin{bmatrix} v \ w end{bmatrix} }^{hat{}} equiv egin{bmatrix} hat w & v \ 0 & 0 end{bmatrix} in mathbb{R}^{4 imes4} ]

    [xi equiv { egin{bmatrix} v \ w end{bmatrix} } equiv {egin{bmatrix} hat w & v \ 0 & 0 end{bmatrix}}^{check{}} in mathbb{R}^{6} ]

    $ v $ 是在 (R) 旋转后的坐标系的线速度,(w) 是角速度。

    2.3.1 指数映射

    (se(3)),解微分方程

    [egin{cases} dot g(t) = hat xi g(t), hat xi = const \ g(0) = I end{cases} ]

    [g(t) = e^{hat xi t} = Sigma_{n = 0}^{infty} { (hat xi t)^n over n !} ]

    (w = 0) 时,

    [e^{hat xi} = egin{bmatrix} I & v \ 0 & 1 end{bmatrix} ]

    (w e 0) 时,

    [e^{hat xi} = egin{bmatrix} e^{hat w} & {(1 - e^{hat w})hat wv + ww^Tv over |w|^2} \ 0 & 1 end{bmatrix} ]

    2.3.2 对数映射

    先利用 $ e^{hat xi} $ 左上角 (3 imes3) 的矩阵计算出 (w) ,随后用右上角 (3 imes1) 的式子计算 (v)

    3. 相机运动

    相机是刚体,相机的运动是刚体运动,可以使用旋转和平移表示。

    一般使用 (g(t)) 表示相机在 (t) 时刻相对世界坐标系的位置姿态:

    [g(t) = egin{bmatrix} R(t) & T(t) \ 0 & 1 end{bmatrix} in SE(3) ]

    一般定义相机在0时刻的坐标系为世界坐标系,在世界坐标系中一点的坐标为 (X_0),该点在 (t) 时刻的相机坐标系下的坐标为 (X(t))

    [X(t) = R(t) X_0 + T(t) ]

    在齐次坐标系下:

    [X(t) = g(t) X_0 ]

    3.1 相机运动的链接

    两个不同时刻 (t_1, t_2) 世界坐标系下的点 (X_0) 的坐标为 (X(t_2), X(t_1))(X(t_2), X(t_1)) 之间的关系是:

    [X(t_2) = g(t2, t1)X(t_1) ]

    $ g(t_2, t_1) $ 表示 (t_2) 相对 (t_1) 的位姿,通过以下方程即可得到 (g(t_2, t_1)) 与 $ g(t_1), g(t_2) $ 的关系。

    [egin{cases} X(t_2) = g(t_2)X_0 \ X(t_1) = g(t_1)X_0 end{cases} ]

    如果存在3个时刻 $ t_1, t_2, t_3 $ :

    [X(t_3) = g(t_3, t_2) X_2 = g(t_3, t_2) g(t_2, t_1) X_1 = g(t_3, t_1)X_1 ]

    [g(t_3, t_1) = g(t_3, t_2) g(t_2, t_1) ]

    $ g(t_2, t_1) $ 的逆是 (t_1) 相对 (t_2) 的位姿 $ g(t_1, t_2) $:

    [g(t_1, t_2)g(t_2, t_1)=I Leftrightarrow g^{-1}(t_2, t_1)=g(t_1, t_2) ]

    3.2 速度变换

    对 $ X(t) = g(t) X_0 $ 求导:

    [dot X(t) = dot g(t) X_0 = dot g(t)g^{-1}(t)X(t) ]

    定义

    [hat V(t) equiv dot g(t)g^{-1}(t) = egin{bmatrix} hat w(t) & v(t) \ 0 & 0 end{bmatrix} in se(3) ]

    于是

    [dot X(t) = hat V(t)X(t) ]

    在非齐次坐标系中

    [dot X(t) = hat w(t) X(t) + v(t) ]

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