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课程第2章从李群与李代数的角度介绍三维空间的刚体运动。李群即常见的旋转矩阵、变换矩阵,李代数与李群对应,李代数 (se(3)) 是所有三维反对称阵的集合。
将李代数映射到李群,使得旋转与变换可微,并且消除了旋转矩阵的约束条件($ R^TR = I, det(R) = 1 $)对优化的约束,能够在无约束条件下进行位姿的优化。
1. 三维空间与刚体运动
三维空间是三维欧几里德空间(Euclidean Space)的简称,一般使用笛卡尔坐标系(Cartesian Coordinate System
)描述欧式空间中的点,笛卡尔坐标描述是 $ (x, y, z) in mathbb{E}^3 $ 的形式,这种形式可以用 (mathbb{R}^3) 定义。
于是使用三维向量 $ mathbb{R}^3 $ 描述一个三维点坐标 $ mathbb{E}^3 $。本笔记使用 (mathbb{R}^3) 替代 $ mathbb{E}^3 $,严格意义上将 (mathbb{E}^3) 是笛卡尔坐标,$ mathbb{R}^3 $ 是三维向量。
1.1 叉乘与反对称阵
叉乘(Cross Product)是将两个三维向量映射到一个三维向量:
叉乘可以可以转化为一个矩阵与向量点乘的形式,方便计算:
1.2 刚体运动
刚体运动是三维坐标到三维坐标的映射:
$ t $ 是时刻。
刚体运动保持范数(norm)与叉乘不变:
由以上两个性质与极化恒等式(Polarization Identity)可知刚体运动也保持内积不变。三重积(Triple Product)也是保持变不变,三重积的几何意义是三个向量表示的平行六面体的体积,所以刚体运动保持体积不变。
刚体运动可以表示为:
2. 李群与李代数
2.1 旋转矩阵的导数
在任意时刻的旋转矩阵都是正交的,$ R(t)R^T(t) = I, forall t $,对这个式子左右求导:
所以 (dot RR^T) 是一个反对称阵,所以在任意时刻存在一个向量 (w(t) in mathbb{R}^3) 与 $ dot RR^T $ 对应:
上式表明了任意时刻 $ t $ 的旋转矩阵 (R(t)) 的导数 (dot R(t)) 的计算方法——用一个反对称阵左乘旋转矩阵 (R(t))。
0时刻的旋转矩阵 $ R(0) = I $,在0时刻附近展开:
2.2 李群 (SO(3)) 与李代数 (so(3))
李群(Lie Group)指连续可微的群,三维空间的旋转是连续的,所以特殊正交集 (SO(3)) 是三维旋转李群对应的矩阵表示。连续是关键。
Def.: A Lie group (or infinitesimal group) is a smooth manifold that is also a group, such that the group operations multiplication and inversion are smooth maps.
$ SO(3) $ 中的微分可以使用反对称阵逼近,反对称阵所在的群叫做李代数(Lie Algebra):
李代数是李群在 (I) 处的切空间(Tangent Space)。$ I $ 对应的是0时刻,以0时刻为基准,认为0时刻不存在旋转。
2.2.1 指数映射
前面推导得到了 $ dot R(t) = hat w R(t) $ 的结论,解微分方程
得到
当 $ |w| = 1 $ 时 (R(t)) 是绕着轴 $ w in mathbb{R}^3 $ 的旋转,如果将时间 (t) 写入到 (hat w) 中($ hat w = hat w t $),这样就得到了从李代数到李群的映射:
2.2.2 对数映射
对数映射是将指数映射的逆映射,是从李群 $ SO(3) $ 到李代数 $ so(3) $ 的映射, 可以表示为
当 $ R e I $ 时,
当 $ R = I $ 时,$$ w = 0 $$
2.2.3 罗德里格公式
指数映射部分将 (R(t)) 用一无穷级数表示,如何求取这个无穷级数呢?这就需要用到罗格里格公式(Rodrigues' Rotation Formula),对于 $ hat w in so(3) $:
2.3 李群 (SE(3)) 与李代数 (se(3))
$ SE(3) $ 表示刚体运动,包括旋转和平移,在齐次坐标下定义为:
旋转矩阵求导能够直接得出旋转矩阵的导数 $ dot R(t) = hat w R(t) $,但 $ SE(3) $ 不具有这种性质,为了保持表达形式的一致,仿照 (SO(3)) 与 (so(3)) 定义 (se(3))。
$ g $ 是刚体变换映射:
$ g $ 是一个 (4 imes 4) 的矩阵,但是并不是一个正交阵,不具备 $ g g^T = I $ 的性质,但是作为一个可逆矩阵 $ gg^{-1} = I Rightarrow dot g g^{-1} = (dot g g)^{-1}$,然后就如下考虑:
前面 $ SO(3) $ 部分可知 $ dot R R^T = hat w, hat win so(3) $,定义一个新的向量 $ v(t) equiv dot T(t) - hat w(t)T(t) $,于是有:
进一步求 (dot g):
公式中的 (hatxi) 称作 twist (twist 有旋转运动加平移运动的意思,可查 Screw Theory)。
(se(3)) 的定义:
$ hat xi $ 是 twist,$ xi in mathbb{R}^6 $ 称作 twist coordinates,两者的完整定义如下:
$ v $ 是在 (R) 旋转后的坐标系的线速度,(w) 是角速度。
2.3.1 指数映射
求 (se(3)),解微分方程
得
当 (w = 0) 时,
当 (w e 0) 时,
2.3.2 对数映射
先利用 $ e^{hat xi} $ 左上角 (3 imes3) 的矩阵计算出 (w) ,随后用右上角 (3 imes1) 的式子计算 (v)。
3. 相机运动
相机是刚体,相机的运动是刚体运动,可以使用旋转和平移表示。
一般使用 (g(t)) 表示相机在 (t) 时刻相对世界坐标系的位置姿态:
一般定义相机在0时刻的坐标系为世界坐标系,在世界坐标系中一点的坐标为 (X_0),该点在 (t) 时刻的相机坐标系下的坐标为 (X(t)):
在齐次坐标系下:
3.1 相机运动的链接
两个不同时刻 (t_1, t_2) 世界坐标系下的点 (X_0) 的坐标为 (X(t_2), X(t_1)),(X(t_2), X(t_1)) 之间的关系是:
$ g(t_2, t_1) $ 表示 (t_2) 相对 (t_1) 的位姿,通过以下方程即可得到 (g(t_2, t_1)) 与 $ g(t_1), g(t_2) $ 的关系。
如果存在3个时刻 $ t_1, t_2, t_3 $ :
$ g(t_2, t_1) $ 的逆是 (t_1) 相对 (t_2) 的位姿 $ g(t_1, t_2) $:
3.2 速度变换
对 $ X(t) = g(t) X_0 $ 求导:
定义
于是
在非齐次坐标系中